加群の根基
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数学において、加群の理論において、加群の根基 (radical) は構造と分類の理論の構成物である。それは環のジャコブソン根基の一般化である。いろいろな意味でそれは M の半単純成分 soc(M) の概念の双対概念である。
定義
R を環とし M を左 R-加群とする。M の部分加群 N は商 M/N が単純加群であるときに極大 (maximal) あるいは cosimple と呼ばれる。加群 M の根基 (radical) は M のすべての極大部分加群の共通部分である
- [math]\mathrm {rad}(M) = \bigcap \{ N \mid N \mbox{ is a maximal submodule of M} \} \,[/math]
同じことだが、
- [math]\mathrm {rad}(M) = \sum \{ S \mid S \mbox{ is a superfluous submodule of M} \} \,[/math]
これらの定義は soc(M) に対して直接的な双対の類似をもつ。
性質
- rad(M) は余剰部分加群全体の和であるという事実に加えて、ネーター加群において rad(M) それ自身が余剰部分加群である。
- すべての右 R-加群 M に対して rad(M) ={0} であるような環を右 V-環 (right V-ring) と呼ぶ。
- 任意の加群 M に対して、rad(M/rad(M)) は 0 である。
- M が有限生成加群であることと M/rad(M) が有限生成かつ rad(M) が M の余剰部分加群であることは同値である。
関連項目
参考文献
- Alperin, J.L. (1995). Groups and representations. Springer-Verlag, 136. ISBN 0-387-94526-1.
- Anderson, Frank Wylie (1992). Rings and Categories of Modules. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97845-1.