リエナールの定理

力学系において、リエナールの定理 (Liénard's theorem) とはリミットサイクルの存在を示す定理。

リエナール方程式

次のような微分方程式を、リエナール方程式という。

[math]{d^2x \over dt^2} +f(x){dx \over dt} + g(x) = 0 [/math]

リエナール方程式が次の5つの条件を満たすとき、[math]\left(x , {dx \over dt} \right)[/math] 平面状に唯一の安定なリミットサイクルを持つ。

f(x) と g(x) の微分が連続（C¹級）
g(x) が奇関数
f(x) が偶関数
x > 0 ならば、 g(x) > 0
次のような a が存在する。偶関数 [math]F(x) = \int^x_0 \!f(u)\, du[/math] が、
- [math]0\lt x\lt a[/math] ならば、[math]F(x) \lt 0[/math]
- [math]F(a) = 0[/math]
- [math]x\gt a[/math] ならば、正かつ非減少

リエナール方程式は、

[math]F(x) := \int_0^x f(\xi) d\xi[/math]

[math]x_1:= x\,[/math]

[math]x_2:={dx \over dt} + F(x)[/math]

と置くことで、等価な2次元の常微分方程式系に変換できる。

[math] \begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \mathbf{h}(x_1, x_2) := \begin{bmatrix} x_2 - F(x_1) \\ -g(x_1) \end{bmatrix} [/math]

これをリエナール系と呼ぶ.