ポアンカレ群
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テンプレート:Groups ポアンカレ群（ポアンカレぐん、英語: Poincaré group）とは、ポアンカレ変換の為す変換群。10次元のノンコンパクトリー群である。
ポアンカレ変換
ポアンカレ変換とは、ミンコフスキー空間における等長変換である。 等長変換においては内積が保存される。
座標変換
ミンコフスキー空間の座標 x に対する並進とローレンツ変換は以下のようになる。
- 並進
- [math]x^\mu \to x'^\mu = x^\mu +a^\mu[/math]
- ローレンツ変換
- [math]x^\mu \to x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu[/math]
ここで、a, Λ は変換のパラメータである。
生成子
並進の生成子 P は運動量、ローレンツ変換の生成子 M は角運動量である。 ミンコフスキー空間上の関数（スカラー場）φ(x) を考えると
[math]i[P_\mu, \phi(x)] = \partial_\mu\phi(x)[/math]
[math]i[M_{\mu\nu}, \phi(x)] = x_\mu\partial_\nu\phi(x) -x_\nu\partial_\mu\phi(x)[/math]
となる。
ポアンカレ代数
ポアンカレ代数とはポアンカレ群のリー代数で、次の交換関係をみたす。
[math][P_\mu, P_\nu] =0[/math]
[math][M_{\mu\nu}, P_\rho] =i(\eta_{\mu\rho}P_\nu -\eta_{\nu\rho}P_\mu)[/math]
[math][M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] =i(\eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} -\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} -\eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} +\eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})[/math]