ディリクレ環
提供: miniwiki
数学におけるディリクレ環（ディリクレかん、英: Dirichlet algebra）とは、あるコンパクトハウスドルフ空間 X に関連する特定のタイプの環のことを言う。ディリクレ環は X 上の有界連続関数の一様環 C(X) の閉部分環であり、その実部は X 上の有界連続「実」関数の環において稠密である。この概念は テンプレート:Harvs によって導入された。
例
[math]\mathcal{R}(X)[/math] を [math]X[/math] 上で連続なすべての有理関数の集合とする。すなわち、[math]X[/math] に極を持たない関数の集合とする。このとき
- [math]\mathcal{S} = \mathcal{R}(X) + \bar{\mathcal{R}(X)}[/math]
は [math]C(X)[/math] および [math]C\left(\partial X\right)[/math] の *-部分環である。[math]\mathcal{S}[/math] が [math]C\left(\partial X\right)[/math] において稠密であるとき、[math]\mathcal{R}(X)[/math] のことをディリクレ環（Dirichlet algebra）と呼ぶ。
ある作用素 [math]T[/math] が [math]X[/math] をスペクトル集合として持ち、[math]\mathcal{R}(X)[/math] がディリクレ環であるなら、[math]T[/math] には正規境界伸張（normal boundary dilation）が存在する。これは、
- [math]X=\mathbb{D} [/math]
とした場合の結果であるナジーの伸張定理を一般化するものである。
参考文献
- Gleason, Andrew M. (1957), “Function algebras”, in Morse, Marston; Beurling, Arne; Selberg, Atle, Seminars on analytic functions: seminar III : Riemann surfaces ; seminar IV : theory of automorphic functions ; seminar V : analytic functions as related to Banach algebras, 2, Institute for Advanced Study, Princeton, pp. 213–226, Zbl 0095.10103
- テンプレート:Eom
- Completely Bounded Maps and Operator Algebras Vern Paulsen, 2002 ISBN 0-521-81669-6
- Wermer, John (November 2009), Gleason's work on Banach algebras, in Bolker, Ethan D., “Andrew M. Gleason 1921–2008”, Notices of the American Mathematical Society 56 (10): 1248–1251.