チャーン・サイモンズ形式
提供: miniwiki
数学において、チャーン･サイモンズ形式(英: Chern–Simons form)とは、ある第二特性類のことを指す。それらは、ゲージ理論で興味をもたれ、（特に3-形式は）チャーン・サイモンズ理論の作用を定義する。理論はS.S.チャーンとジェームズ・サイモンズの名前にちなんでいて、1974年の共著論文、題名：｢Characteristic Forms and Geometric Invariants｣の中で、この理論が生まれた。テンプレート:Harvs
定義
多様体が与えられ、多様体の上のリー代数に値を持つ1-形式(1-form)の空間を [math]\bold{A}[/math] とすると、以下のようにして、（チャーン・サイモンズ）p-形式の族を定義することができる。
1-次元では、チャーン・サイモンズ 1-形式は次の式で与えられる。
- [math]{\rm Tr} [ \bold{A} ].[/math]
3-次元では、チャーン・サイモンズ 3-形式 は次の式で与えられる。
- [math]{\rm Tr} \left[ \bold{F}\wedge\bold{A}-\frac{1}{3}\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\right].[/math]
5-次元では、チャーン・サイモンズ 5-形式 は次の式で与えられる。
- [math]{\rm Tr} \left[ \bold{F}\wedge\bold{F}\wedge\bold{A}-\frac{1}{2}\bold{F}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A} +\frac{1}{10}\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A} \right][/math]
ここに曲率 F は次のように定義される。
- [math]\bold{F} = d\bold{A}+\bold{A}\wedge\bold{A}.[/math]
一般のチャーン・サイモンズ形式 [math]\omega_{2k-1}[/math] は次のような方法で定義される。
- [math]d\omega_{2k-1}={\rm Tr} \left( F^{k} \right),[/math]
ここにウェッジ積は Fk と定義する。この式の右辺は、接続 [math]\bold{A}[/math] の k-番目のチャーン類に比例する。
一般に、チャーン・サイモンズ p-形式は任意の奇数 p に対し定義される。(定義はゲージ理論も参照のこと)。p-次元多様体の上のチャーン・サイモンズ項の積分は、大域的な幾何学的不変量であり、典型的には、整数倍を同一視するとゲージ不変（な不変量）となる。
関連項目
参考文献
- Chern, S.-S.; Simons, J (1974), “Characteristic forms and geometric invariants”, The Annals of Mathematics, Second Series 99 (1): 48–69, JSTOR 1971013.