チェビシェフの和の不等式

チェビシェフの和の不等式（チェビシェフのわのふとうしき、英: Chebyshev's sum inequality）は、パフヌティ・チェビシェフの名にちなんだ不等式である。

2つの数列 {a_k}, {b_k} が単調減少列であるとき、すなわち

[math]a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n[/math]

[math]b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n[/math]

であるとき、以下の不等式が成り立つ。

[math]{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).[/math]

一方が単調減少列で他方が単調増加列、すなわち

[math]a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n[/math]

[math]b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n[/math]

である場合は、以下の不等式が成り立つ。

[math]{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).[/math]

証明

チェビシェフの和の不等式の証明には、rearrangement inequality を用いる。まず

[math]a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n[/math]

[math]b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n. \, [/math]

を仮定する。Rearrangement inequalityにより、

[math]a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \, [/math]

は2つの数列のあらゆる並べ替えに関する積和について最大値を与えることがわかる。よって、

[math]a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \, [/math]

[math]a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1 \, [/math]

[math]a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_3 + a_2 b_4 + \cdots + a_n b_2 \, [/math]

[math]\vdots \, [/math]

[math]a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_n + a_2 b_1 + \cdots + a_n b_{n-1}[/math]

となる。両辺それぞれについて総和を取って、

[math]n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geq (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n);[/math]

これを[math]n^2[/math]で割ると、以下の不等式が得られる。

[math]\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geq \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n}.[/math]

連続バージョン

チェビシェフの和の不等式には、連続バージョンも存在する。

f および g を区間 [0, 1] で積分可能な実数値関数とし、ともに単調増加もしくは単調減少であると仮定する。このとき、

[math] \int fg \geq \int f \int g[/math]

この不等式は任意の空間における積分に一般化することが可能である。