ジェネリックフィルター
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数学の集合論における、ジェネリックフィルター とは、強制法の理論で使われる対象の一種で、 そのテクニックはいろんな目的に使われるが、特に、何かしらの命題の ZFCのような形式的な理論からの独立性を示すのに使われる。
例えば、ポール・コーエンはZFCが無矛盾であれば 連続体仮説(実数全体の集合の濃度が [math]\aleph_1[/math] である) を証明することができないということを示すのに使った。 コーエンの証明は、[math]\aleph_1[/math] の値を変えることなしに、 [math]\aleph_1[/math] より多くの実数を生成する ジェネリックフィルターを構成することによって為された。
形式的には、P を半順序として、F を P 上のフィルターとする。 すなわち、F は P の部分集合で、
- F は空でない
- p,q∈P で、 p≤q で、 p が F の要素なら、q もF の要素(F は上に閉じている)
- p と q が Fの要素なら、Fの要素rで、r≤p かつ r≤q となるものが存在する。(F の任意の二要素は両立 する。)
を満たす。
D を P の稠密部分集合の族とする。 フィルターF が D-ジェネリック であるとは、F が Dの要素の全てと交わりを持つこと、 すなわち、
- [math]F\cap E \ne \varnothing,\,[/math] for all E ∈ D
となることである。
同様に、M がZFCの推移モデル(または、十分なフラグメント)で、 P が M の要素であるとき、F が M上ジェネリックであるとは、 D を P の稠密開部分集合とすると、
- [math]F\cap D \ne \varnothing,\,[/math] for all D ∈ M
となることである。
参考
- K. Ciesielski, Set Theory for the Working Mathematician, London Mathematical Society