クロネッカーの極限公式

数学において、古典的なクロネッカーの極限公式 (Kronecker limit formula) は、デデキントのエータ函数によって実解析的アイゼンシュタイン級数（もしくは、エプシュタインのゼータ函数）の s = 1 での定数項を記述する。命名はレオポルト・クロネッカー(Leopold Kronecker)にちなんでいる。クロネッカーの極限公式には、より込み入ったアイゼンシュタイン級数へ多くの一般化がある。

クロネッカーの第一極限公式

クロネッカーの第一極限公式は、

[math]E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)[/math]

である。ここに、

[math]E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}[/math]

で与えられ、解析接続によって他の複素数 s に対しても与えられる。

γ はオイラー・マスケローニ定数である。
τ = x + iy で y > 0 とする。
[math]q=e^{2\pi i\tau}[/math] として [math]\eta(\tau) = q^{1/24}\prod_{n\ge 1}(1-q^n)[/math] はデデキントのエータ函数である。

従って、アイゼンシュタイン級数は s = 1 で留数 π の極を持ち、クロネッカーの第一極限公式は、この極でのローラン級数の定数項を与える。

クロネッカーの第二極限公式は、

[math]E_{u,v}(\tau,1) = -2\pi\log|f(u-v\tau;\tau)q^{v^2/2}|,[/math]

である。ここに、

u と v は実数で、ともに整数であることはない。
q = e^{2π i τ} かつ q^a = e^{2π i aτ}
p = e^{2π i z} かつ p^a = e^{2π i az}
Re(s) > 1 に対し [math]E_{u,v}(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}e^{2\pi i (mu+n\tau)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}},[/math] 他の複素数 s に対しては解析接続によって定義される。
[math]f(z,\tau) = q^{1/12}(p^{1/2}-p^{-1/2})\prod_{n\ge1}(1-q^np)(1-q^n/p)[/math]

Serge Lang, Elliptic functions, ISBN 0-387-96508-4
C. L. Siegel, Lectures on advanced analytic number theory, Tata institute 1961.