オイラー予想

オイラー予想（オイラーよそう）とは、スイスの数学者レオンハルト・オイラーが提唱した、フェルマーの最終定理を発展させた数学的予想である。現在では、反例によってこの予想は正しくないことが証明されている。

予想の内容

オイラーはフェルマーの最終定理のn=3のとき、すなわち

x³ + y³ =z³

を満たす自然数の解 (x, y, z) は存在しないことを証明した。 ここから、フェルマーの最終定理を拡張して、

x⁴ + y⁴ + z⁴ = w⁴

を満たす自然数の解 (x, y, z, w) は存在しない、と予想した。

同様に

x⁵ + y⁵ + z⁵ + w⁵ = v⁵

x⁶ + y⁶ + z⁶ + w⁶ + v⁶ = u⁶

を満たす自然数の解も存在しない、とした。

すなわち、n > 3 とすると、n − 1 個の n 乗数の和を1個の n 乗数で表すことはできないということを示唆した。 これが、オイラー予想である。

歴史

オイラーの発表以降、比較的小さな自然数では反例を見つけることができず、長い間正しいと信じられてきた。

しかし1966年にレオン・J・ランダーとトーマス・R・パーキンによって n = 5 の場合の反例として解 (27, 84, 110, 133, 144) が発見され、27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵ が成り立つことが確認された。

この発見から n = 4 の場合も反例がある可能性があるとして研究が続けられ、1986年にハーバード大学のノーム・エルキーズ(Noam Elkies)が、楕円曲線論とコンピュータを用いて発見した。その反例は 2682440⁴ + 15365639⁴ + 18796760⁴ = 20615673⁴ という複雑なものだった。この発見と同時に解は無限に存在することも確認され、約200年間未解決となっていたオイラー予想は、否定的に証明された。

また、2004年にはジム・フライによってn=5の場合の反例85282⁵ + 28969⁵ + 3183⁵ + 55⁵ = 85359⁵が発見された。