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{{Otheruses|数学・哲学の用語|その他|QED}} {{出典の明記|date=2012年12月}} [[数学]]、[[哲学]]などにおける '''Q.E.D.''' は[[ラテン語]]の Quod Erat Demonstrandum（かく示された）が略されてできた[[頭字語]]。[[証明]]や[[論証]]の末尾におかれ、議論が終わったことを示す。<!--[[エラリー・クイーン (探偵)|エラリー・クイーン]]の推理を締めくくる言葉としても有名。-->なお現代数学において Q.E.D. はほとんど使用されていない<ref> {{cite book |last1 = Abedein |first1 = Andrew |last2 = Dove |first2 = Ian J. |year = 2013 |title = The argument of mathematics |url = {{google books|aXNHAAAAQBAJ|plainurl=yes|page=192}} |publisher = Springer |isbn = 978-94-007-6533-7 |quote = Traditionally, this was effected by repeating the theorem, letting it be followed by &lsquo;QED&rsquo;, but at some point this went out of fashion. }} </ref>。（[[#電子的な記号]]を参照。） == 歴史 == [[ファイル:Philippe van Lansberge 1604 QED.png|right|thumb|400px|フィリッペ・ファン・ランズベルゲによる [http://books.google.com/books?id=fg9KAAAAMAAJ&printsec=titlepage&dq=quod-erat-demonstrandum+date:0-1700&lr=&as_brr=1#PPA3,M1 ''Triangulorum Geometræ''] (1604) に書かれている証明のいくつかは "quod erat demonstrandum" で終わっている。<!-- others ended with phrases such as "figillatim deinceps demunstrabitur," "magnitudo demonstranda est," and other variants.-->]] この quod erat demonstrandum という言い回しは[[ギリシャ語]]の{{Polytonic|ὅπερ ἔδει δεῖξαι.}} ({{lang|grc-Latn|''hoper edei deixai''}}) が中世の幾何学者によってラテン語に訳されてできたものである<ref>{{cite web|last=Miller|first=Jeff|accessdate=2016-02-18|url=http://jeff560.tripod.com/q.html|title=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (Q)}}</ref>。このギリシャ語の言い回しは[[ユークリッド]]や[[アルキメデス]]によって用いられていた。特にユークリッドは論理的な演繹によって数学を構成することに重きを置いたので、Q.E.D. という言葉の使用のうちにこのような方法論を推進する意図を認めることができる。 [[ファイル:Spinoza Ethica Pars1 Prop1.jpg|thumb|400px|スピノザの『[[エチカ (スピノザ)|エチカ]]』原著の第1部より。右頁の中頃にある PROPOSITIO III. の DEMONSTRATIO の末尾に Q.E.D. が使用されている。]] ルネサンス期のヨーロッパの数学書は普通ラテン語で書かれていたため、"quod erat demonstrandum" のような言い回しが証明の最後にしばしば用いられた。哲学の議論における Q.E.D. の代表的な使用例として[[バールーフ・デ・スピノザ]]の代表作『[[エチカ (スピノザ)|エチカ]]』（1677、ラテン語） が挙げられる。スピノザ自身がこの本のスタイルを称して「幾何学的な秩序によっている」と宣言したように、（彼の推論が演繹的として適切かはともかくとして）定義、公理ののちに命題が述べられ、 Q.E.D. で終わる証明が続くというスタイルで記述されている。これは日記の形式で書かれていた[[ルネ・デカルト]]による『[[省察]]』と比べて、スピノザにとって大きな進展だった<ref>The Chief Works of Benedict De Spinoza, translated by R. H. M. Elwes, 1951. ISBN 0-486-20250-X.</ref>。 <!-- 日本では例がないか Currently, it has become so symbolic of irrefutable logic that "Q.E.D." is occasionally used in non-mathematical contexts as well to intensify assertions; in this context it has little connection with rigorous deduction, however, and is more [[tongue-in-cheek]]. It is in this 'tongue-in-cheek' manner that Justice Antonin Scalia of the Supreme Court of the United States, writing the Court's opinion in ''District of Columbia v. Heller'', slip op. at 62 (2008), used the abbreviation. He concluded a paragraph criticizing Justice Steven Breyer's dissenting opinion as follows: <blockquote> JUSTICE BREYER arrives at his interest-balanced answer: because handgun violence is a problem, because the law is limited to an urban area, and because there were somewhat similar restrictions in the founding period (a false proposition that we have already discussed), the interest-balancing inquiry results in the constitutionality of the handgun ban. QED. </blockquote> --> == 類似の略語 == 使用頻度の落ちる少し異なった意味を持つラテン語の言い回しとして、「これがなすべきことだった」という意味の {{lang|la|"Quod erat faciendum"}} がある。これは普通 Q.E.F. と略される。Q.E.F. はギリシャの数学者によって用いられた {{Polytonic|ὅπερ ἔδει ποιῆσαι}} ({{lang|grc-Latn|''hoper edei poiēsai''}}) から来ている。ユークリッドはこの言葉を例示的な構成などの結語として用いていた。Q.E.D. と Q.E.F. の違いは完全な証明と証明の概略の違いに相当する。<!-- Unclear. Please Correct --> <!-- Please do not add any more foreign versions, as it clutters the page and adds nothing but a list of indiscriminate information which duplicates (relevant) information already contained in the language Wikis linked to this page. Please do not add any claim concerning the joke "Quite Easily Done", which is unworthy of inclusion./--> Q.E.D. は様々な言語に訳されている。特に、西欧の数学における主要言語であったフランス語やドイツ語ではそれぞれ C.Q.F.D. ("ce qu'il fallait démontrer")<!--(or sometimes "{{Lang|fr|ce qui finit la démonstration}}") --> および w. z. b. w. ("was zu beweisen war") となっている。英語や日本語における定訳は存在しないが、多くの場合証明の最後は "this completes the proof" 、「これで証明が完成する」などの簡潔な文が添えられることが多い。<!-- The equivalent in [[Ancient Greek]] was "ὅπερ ἔδει δεῖξαι" and could be translated as "which had to be proved". In modern Greek texts sometimes the "ὅ.ἔ.δ." initials are used at the end of a mathematical proof. In Hebrew, the term used is the abbreviation "מ.ש.ל" (pronounced `Mashal`), which stands for "What has needed to be proven". --> == 電子的な記号 == [[LaTeX]] などのソフトウェアを用いてコンピュータによる組版で数学の証明が書かれるようになってから何種類かの記号が Q.E.D. の代わりに用いられるようになった。代表的なものは[[墓石記号|墓石]]（[[:en:Tombstone (typography)|tombstone]]）あるいはハルモス記号（この用法を提案した[[ポール・ハルモス]]にちなむ<ref> {{cite book |last1 = Halmos |first1 = Paul |year = 1985 |title = I want to be a mathematician: An automathography |url = {{google books|7VblBwAAQBAJ|plainurl=yes|page=403}} |publisher = Springer |isbn = 978-0-387-96470-6 |quote = The symbol is definitely not my invention&nbsp;— it appeared in popular magazines (not mathematical ones) before I adopted it, but, once again, I seem to have introduced it into mathematics. It is the symbol that sometimes looks like {{Unicode|▯}}, and is used to indicate an end, usually the end of a proof. It is most frequently called the &ldquo;tombstone&rdquo;, but at least one generous author referred to it as the &ldquo;halmos&rdquo;. }} </ref>）とも呼ばれる黒い四角 <math>\blacksquare</math> であるが、白い四角 <math>\square</math> が推奨されることもある<ref> {{cite book |author = Society for Industrial and Applied Mathematics |year = 2013 |title = SIAM style manual |page = 52 |format = PDF |url = https://www.siam.org/journals/pdf/stylemanual.pdf |isbn = 978-1-611973-39-6 }} </ref><!--□は（証明ではなく）命題（、定理、補題 etc.）のステートメントの末尾につけられることがある-->。[[Unicode]] は「証明終わり」の記号を明示的に U+220E (end of proof {{Unicode|∎}}) に割り当てているが、 U+25AE (black vertical rectangle {{Unicode|▮}}) や U+2023 (triangular bullet {{Unicode|‣}}) も代替として割り当てている。著者によっては、二重スラッシュ//など他の記号を用いたり、単に垂直方向の空白スペースを取ることによって証明の終わりを表すこともある。 == 脚注 == {{reflist|2}} == 参考文献 == * {{cite book|和書|author=スピノザ|authorlink=バールーフ・デ・スピノザ|translator=畠中 尚志|title=エチカ―倫理学|volume=上・下|publisher=岩波書店|location=東京|year=1975|series=岩波文庫}} ==関連項目== *[[墓石記号]] {{DEFAULTSORT:Q.E.D}} [[Category:ラテン語由来の論理学のフレーズ]] [[Category:ラテン語由来の哲学のフレーズ]] [[Category:数学の慣用表現]] [[Category:数学に関する記事|QED]]

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