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| − | [[代数学]]における[[群 (数学)|群]] {{mvar|G}} の核心または'''中心'''（ちゅうしん、{{lang|en|''center''}}）{{math|''Z''(''G'')}}<ref group="note">この記法の ''Z'' はドイツ語で中心という意味の ''[[wikt:Zentrum|Zentrum]]'' に由来する。英語の center から {{math|C(''G'')}} のような記法が使われることも在るが、[[中心化群]]などと紛らわしい。</ref> は {{mvar|G}} の全ての元と[[交換法則|可換]]となるような元全体の成す[[集合]]
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| − | | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | :<math>Z(G) = \{z \in G \mid zg = gz\;(\forall g\in G) \}</math>
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| − | である。{{mvar|G}} の中心は {{mvar|G}} の[[部分群]]であり、定義から[[アーベル群]]（可換群）である。部分群としては、常に[[正規部分群|正規]]であり、[[特性部分群|特性的]]であるが必ずしも[[完全特性部分群|完全特性的]] {{lang|en|(fully characteristic)}} ではない。[[剰余群]] {{math|''G''/''Z''(''G'')}} は {{mvar|G}} の[[内部自己同型|内部自己同型群]]に[[群同型|同型]]である。
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| − | 群 {{mvar|G}} がアーベル群となることと {{math|''Z''(''G'') {{=}} ''G''}} となることとは同値である。これと正反対に、{{math|''Z''(''G'')}} が自明（つまり[[単位元]]のみからなる）ならば群 {{mvar|G}} は'''中心を持たない''' {{lang|en|(''centerless'')}} という。
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| − | 中心に属する元はしばしば'''中心的''' {{lang|en|(''central'')}} であるといわれる。
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| − | == 部分群となること ==
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| − | {{mvar|G}} の中心はつねに {{mvar|G}} の[[部分群]]となる。実際、
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| − | # {{math|''Z''(''G'')}} は {{mvar|G}} の単位元 {{mvar|e}} を含む： {{mvar|e}} の定義から任意の {{math|''g'' ∈ ''G''}} について {{math|''eg'' {{=}} ''g'' {{=}} ''ge''}} ゆえ中心 {{math|''Z''(''G'')}} の定義から {{math|''e'' ∈ ''Z''(''G'')}} である。
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| − | # {{math|''Z''(''G'')}} は積について閉じている： {{mvar|x, y}} がともに中心 {{math|''Z''(''G'')}} の元ならば、任意の {{math|''g'' ∈ ''G''}} に対して
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| − | #::{{math|(''xy'')''g'' {{=}} ''x''(''yg'') {{=}} ''x''(''gy'') {{=}} (''xg'')''y'' {{=}} (''gx'')''y'' {{=}} ''g''(''xy'')}}
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| − | #:ゆえに {{mvar|xy}} も {{math|''Z''(''G'')}} の元である。
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| − | # {{math|''Z''(''G'')}} は逆元について閉じている：''x''}} が中心 {{math|''Z''(''G'')}} の元ならば {{math|''gx'' {{=}} ''xg''}} で、これに左右からひとつずつ {{math|''x''<sup>−1</sup>}} を掛けることにより {{math|''x''<sup>−1</sup>''g'' {{=}} ''gx''<sup>−1</sup>}} が得られるから {{math|''x''<sup>−1</sup> ∈ ''Z''(''G'')}} である。
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| − | == 共軛 ==
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| − | 群 {{mvar|G}} から {{mvar|G}} の[[自己同型群]] {{math|Aut(''G'')}} への写像 {{math|''f'': ''G'' → Aut(''G'')}} を {{math|''f''(''g'') {{=}} φ<sub>''g''</sub>}} で定める。ここで {{math|φ<sub>''g''</sub>}} は
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| − | :<math>\phi_g(h) = ghg^{-1}</math>
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| − | で与えられる {{mvar|G}} の自己同型とする。写像 {{mvar|f}} は[[群準同型]]を与え、その[[核 (代数学)|核]]はちょうど ''G'' の中心 {{math|''Z''(''G'')}} である。また、{{mvar|f}} の像は {{mvar|G}} の[[内部自己同型群]]と呼ばれ、{{math|Inn(''G'')}} と書かれる。[[第一同型定理]]により
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| − | :<math>G/Z(G)\cong \operatorname{Inn}(G)</math>
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| − | なる同型を得る。写像 {{mvar|f}} の[[余核]]{{math| Aut(''G'')/Inn(''G'')}} は[[外部自己同型群]]とよばれる群 {{math|Out(''G'')}} で、これらの群は完全列
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| − | :<math>1 \to Z(G) \to G \to \operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G) \to 1</math>
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| − | を成す。
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| − | == 例 ==
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| − | * [[アーベル群]] {{mvar|G}} の中心は {{mvar|G}} 全体である。
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| − | * [[二面体群]] {{math|D<sub>2''n''</sub>}} の中心は {{mvar|n}} が奇数のとき自明である。{{mvar|n}} が偶数のときは、中心は単位元と[[多角形]]の {{math|180°}} 回転からなる。
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| − | * [[四元数群]] {{math|''Q''<sub>8</sub> {{=}} {±1, ±''i'', ±''j'', ±''k''} }}の中心は{{math| {±1} }}である。
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| − | * [[対称群]] {{math|''S''<sub>''n''</sub>}} の中心は {{math|''n'' ≥ 3}} ならば自明である。
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| − | * [[交代群]] {{math|''A''<sub>''n''</sub>}} の中心は {{math|''n'' ≥ 4}} ならば自明である。
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| − | * [[一般線型群]] {{math|''GL''<sub>''n''</sub>(''F'')}} の中心は[[スカラー行列]]全体からなる集合である。
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| − | * [[直交群]] {{math|''O''(''n'', ''F'')}} の中心は{{math| {±''I''<sub>''n''</sub>} }}である。
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| − | * 零でない[[四元数]]全体の成す乗法群の中心は、零でない実数全体の成す乗法群である。
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| − | * [[類等式]]を用いれば任意の自明でない[[有限群|有限]][[p群| ''p''-群]]の中心が自明でないことが示せる。
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| − | * 非可換[[単純群]]は中心を持たない。
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| − | * 剰余群 {{math|''G''/''Z''(''G'')}} が[[巡回群]]ならば {{mvar|G}} は[[アーベル群|可換]]である。
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| − | == 高次の中心 ==
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| − | 群をその中心で割るという操作から、昇核心列あるいは'''[[昇中心列]]''' {{lang|en|(''upper central series'')}} と呼ばれる群の系列
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| − | :<math>G_0 := G \to G_1 := G_0/Z(G_0) \to G_2 := G_1/Z(G_1) \to \cdots</math>
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| − | が得られる。全射準同型 {{math|''G'' → ''G''<sub>''i''</sub>}} の核は {{mvar|G}} の''' {{mvar|i}}-次の中心'''（二次の中心、三次の中心、など）と呼ばれ、''Z''<sup>''i''</sup>(''G'') で表される。具体的に、{{math|(''i'' + 1)}}-次の中心は {{mvar|i}}-次の中心の元を掛ける違いを除いて全ての元と可換となるような元の全体である。この定義の下では、{{math|0}}-次の中心というのを自明な部分群として定めることができる。また、この定義は[[超限帰納法]]を用いて[[超限順序数]]にまで続けることができて、高次の中心全ての結びは[[超中心]] {{lang|en|(''hypercenter'')}} と呼ばれる<ref group="note">昇中心列が有限項で止まらないなら、この和に超限項も含まれる。</ref>。
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| − | 部分群の昇鎖
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| − | :<math>1 \leq Z(G) \leq Z^2(G) \leq \cdots</math>
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| − | が {{mvar|i}} で停止する（つまり {{math|''Z''<sup>''i''</sup>(''G'') {{=}} ''Z''<sup>''i''+1</sup>(''G'')}} となる）[[必要十分条件]]は {{math|''G''<sub>''i''</sub>}} が中心を持たないことである。
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| − | * 中心を持たない群は、全ての高次の中心が自明である（{{math|''Z''<sup>0</sup>(''G'') {{=}} Z<sup>1</sup>(''G'')}} で停止する場合）。
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| − | * {{仮リンク|グリューンの補題|en|Grün's lemma}} により、[[完全群]]の中心による剰余群は中心を持たない。したがって全ての高次の中心は中心に等しい（{{math|''Z''<sup>1</sup>(''G'') {{=}} ''Z''<sup>2</sup>(''G'')}} で停止する場合）。
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| − | == 注記 ==
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| − | {{reflist|group=note}}
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| − | == 関連項目 ==
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| − | * [[環の中心]]
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| − | * [[中心化群と正規化群]]
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| − | * [[共軛類]]
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| − | * [[中心列]]
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| − | {{DEFAULTSORT:くんのちゆうしん}}
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| − | [[Category:群論]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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