素集合
2つの集合が交わりを持たない (disjoint) あるいは互いに素（たがいにそ、英語: mutually disjoint）であるとは、それらが共通の元を持たぬことをいう。一般に、与えられた集合族が互いに素（英語: pairwise disjoint）、あるいは素集合系（そしゅうごうけい、英語: disjoint sets）であるとは、その集合族に含まれるどの2つの集合をえらんでも、それらの選び方に依らずそれらが常に共通部分を持たないことをいう。例えば、{1, 2, 3} と {4, 5, 6} は互いに素である。
概要
2つの集合 A と B が互いに素であるとは、それらの共通部分が空集合であること、すなわち、
- [math]A\cap B = \varnothing[/math]
であることを意味する。
この定義は任意の個数の集合に拡張できる。集合族が互いに素であるとは、その集合族に含まれるどの2つの集合も共通部分を持たないことをいう。つまり、I を添字集合として I のそれぞれの元 i について、Ai という集合が対応しているとき、集合族 {Ai : i ∈ I} が「互いに素」であるとは、i ≠ j であるような任意の i と j について、
- [math]A_i \cap A_j = \varnothing[/math]
が成り立つことをいう。例えば、{ {1}, {2}, {3}, ... } は互いに素な集合族である。
{Ai} が（少なくとも2つの集合を含む）互いに素な集合族であったとき、その共通部分は明らかに空集合である。すなわち、
- [math]\bigcap_{i\in I} A_i = \varnothing[/math]
が成り立つ。しかし、その逆は真ではない。集合族 {{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}} の共通部分は空集合だが、互いに素ではない。実際、ここから任意の2つの集合を取り出したとき、それらは素集合ではない。
集合 X の分割とは、その直和が X に等しい集合族のことである。すなわち、各 Ai が X の部分集合である族 {Ai : i ∈ I} であり、互いに素であると同時に
- [math]\bigcup_{i\in I} A_i = X[/math]
が成り立つものである。通常は、各 Ai が空でないことを要請する。