米田の補題
米田の補題（よねだのほだい、英: Yoneda lemma）とは、小さなhom集合をもつ圏 C について、共変hom関手 hom(A, -) : C → Set から集合値関手 F : C → Set への自然変換と、集合である対象 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。名称は米田信夫に因む。
概要
局所的に小さい（locally small）圏を C とする、すなわち各対象 A, B に対して hom(A, B) は集合であるとする。対象Aを固定するとき、C の各対象 B に対して集合（Set の対象）hom(A,B) を割り当てる関数は、C から Set への関手の対象関数として考えることができる。この関手は大抵 hA = hom(A, -) : C → Set と表記され、共変hom関手（covariant hom functor）と呼ばれる。
ここで、 F : C → Set を任意の集合値関手とし、hA から F へのすべての自然変換 θ : hA [math]\dot{\rightarrow}[/math] F のクラス[1] Nat(hA, F) [2]について考える。
米田の補題の骨子は、射 hA(f) = hom(A, f) : hom(A, A) → hom(A, B) の恒等射 1A に対する特性
- hom(A, f)1A ＝ f
である。
θ は自然変換であるので、対象 A において自然である。 すなわち、各対象 B への各射 f : A → B すべてに対して、自然性条件
- θB・hA(f) = F(f)・θA
が成り立つ。両辺を 1A に作用させると、
- （左辺）= (θB・hA(f))1A = θB(hA(f)1A) = θB(f)
- （右辺）= (F(f)・θA)1A = F(f)θA(1A)
となる。したがって、各対象Bについて、
- θB(f) = F(f)θA(1A)
となる。これは、任意の（C の射かつ Set の対象の要素である） f ∈ hom(A, B) = hA(B) に対して成り立つ。つまり θA(1A) は 各コンポーネント θB : hA(B) → F(B) を定め、自然変換 θ は要素 θA(1A) ∈ F(A) から完全に決定されることがわかる。また明らかに、θ ∈ Nat(hA, F) は、対象 A における自然変換のコンポーネント θA の恒等射 1A における値 θA(1A) ∈ F(A) を定める。
すなわち、全単射
- y:Nat(hA, F) ≅ F(A)
が存在する。この y は米田写像（Yoneda map）と呼ばれる。
圏の完備化
C を局所的に小さな圏とする。C から関手圏 SetC への関手h(-) : Cop → SetC
- （対象関数） hA = hom(A, -) 共変hom関手
- （射関数） hfop:B→A = hom(A, -) [math]\dot{\rightarrow}[/math] hom(B, -) 共変hom関手間の自然変換
をグロタンディーク関手（Grothendieck functor）hと呼ぶ[3]。
ここで、共変hom関手の間の自然変換について
- y:Nat(hA, hB) ≅ hB(A) ＝ homC(B, A)
が、米田の補題から成り立つ。ここで、関手圏の射が自然変換であったことから
- Nat(hA, hB) = homSetC(hA, hB)
とhom集合で書きなおすことができ、C のhom集合と SetC のhom集合との間に全単射
- homC(B, A) ≅ homSetC(hA, hB)
が存在することがわかる。すなわち、グロタンディーク関手 h は充満忠実である。
脚注
- ↑ これはゲーデル-ベルナイス集合論の意味でのクラスである{{#invoke:Footnotes | harvard_citation }}。
- ↑ 逆向きの Nat(F, hA) に関する定理は余米田の補題と呼ばれる{{#invoke:Footnotes | harvard_citation }}。
- ↑ Encyclopedia of Mathematics : Grothendieck functor ただし、添字の上下はリンク先と便宜上、反対にした。
参考文献
- (1968) Introduction to the theory of categories and functors.
- Freyed, P. (2003) [1964], Abelian Categories p.112-113
- Grothendieck, A. (1958-1960), Technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébriques. II. Le théorème d'existence en théorie formelle des modules.
- Grothendieck, A. (1960-1961), Techniques de construction en géométrie analytique. IV. Formalisme général des foncteurs représentables
- MacLane, S. (1965), Categorical algebra p.54-55
- MacLane, S. (1971), Categorical algebra and set-theoretic foundations p.237
- MacLane, S. (1998). Categories for the Working Mathematician, 2nd, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. 邦訳：『圏論の基礎』
- Mitchell, B. (1965). Theory of Categories. Academic Press. p.97-99
- Stauffer, H. B. (1971), A relationship between left exact and representable functors
- Stauffer, H. B. (1972), The completion of an abelian category
- 大熊正 『圏論（カテゴリー）』 槙書店、1979年。
- 河田敬義 『ホモロジー代数I,II』 岩波書店、1977年。
- 中山 正, 服部 昭 『復刊 ホモロジー代数学』 共立出版、2010年。