積分因子

テンプレート:Differential equations 積分因子 (せきぶんいんし、英: integrating factor) とは微分方程式の解法に用いられる関数である。常微分方程式の解法で最もよく用いられ、積分因子を掛けることにより不完全微分から完全微分（積分するとスカラー場を与える）を得ることができる。特に熱力学の分野で用いられ、そこではエントロピーを完全微分にするために温度が積分因子となる。

2変数の方程式の場合には積分因子は必ず存在する。

積分因子を用いた常微分方程式の解法の例

次のような1階の線形常微分方程式を考える。

[math]y'+P(x)y = Q(x)\quad\quad\quad (1)[/math]

この方程式に対し、適当な積分因子[math]M(x)[/math]を (1) 式の両辺に掛け、左辺に積の微分の公式を適用できるようにすると、

[math]M(x)y' + M(x)P(x)y = M(x)Q(x)\quad\quad\quad (2)[/math]

[math](M(x)y)' = M(x)Q(x)\quad\quad\quad (3)[/math]

となるから、(3) 式を積分して

[math]y M(x) = \int Q(x) M(x)\,dx[/math]

となり、これよりもとの微分方程式の解として

[math]y = \frac{\int Q(x) M(x)\, dx}{M(x)}\,[/math]

が得られる。

次に積分因子[math]M(x)[/math]を具体的に求める。(2), (3) 式それぞれの左辺が等しくなるように[math]M(x)[/math]をとっていることから、

[math]M'(x) y + M(x) y' = M(x) y' + M(x) P(x) y \quad\quad\quad[/math]

となり、[math]M(x)[/math]がつぎの微分方程式

[math]M'(x) = M(x)P(x) \quad\quad\quad (4)\,[/math]

を満たすことがわかる。この式を変形すると、

[math]\frac{M'(x)}{M(x)} = P(x) \quad\quad\quad (5)\,[/math]

[math](\ln M(x))' = P(x)[/math]

したがって

[math]M(x) = \exp\left(\int P(x)\,dx\right)[/math]

となる。

外部リンク

• Joakim Munkhammar. “Integrating Factor”. MathWorld（英語）.