確率過程

確率論において、確率過程（かくりつかてい、英語: stochastic process）は、時間とともに変化する確率変数のことである。 株価や為替の変動、ブラウン運動などの粒子のランダムな運動を数学的に記述する模型（モデル）として利用している。不規則過程（英語: random process）とも言う。

数学的な定義

確率空間[math](\Omega, \mathcal{F}, P)[/math]・可測空間 (S, Σ)・全順序集合 T が与えられたとする。

時刻 T で添字つけられる状態空間 S に値をとる確率過程 Xテンプレート:Msub とは

[math]X \colon \Omega \times T \to S[/math]

であり、すべての t ∈ T に対してXテンプレート:Msub がΩ 上の確率変数となるものである。

普通、T としては離散時間 T = {1, 2, 3, …} や連続時間 T = [0, ∞) を考え、状態空間 S としてはユークリッド空間 Rテンプレート:Msup や整数 Z を考える。

有限次元分布

X を S に値をとる確率過程とする。すべての有限列 [math]T'=( t_1, \ldots, t_k ) \in T^k[/math]について、k-タプル [math]X_{T'} = (X_{t_1}, X_{t_2},\ldots, X_{t_k})[/math] は Sテンプレート:Msup を値にとる確率変数となる。この確率変数の分布 [math]\mathbb{P}_{T'}(\cdot) = \mathbb{P} (X_{T'}^{-1}(\cdot))[/math] は [math]S^k[/math] 上の確率測度となる。このようにして得られる分布を X の有限次元分布という。

適切な位相的な制約を加えることで、有限次元分布の「一貫した」集まりを得られる。これを用いて、ある種の確率過程を定義することができる。(例えば、コルモゴロフの拡張。）

例

ブラウン運動の数学的モデルはウィーナー過程である。連続時間でユークリッド空間に値をとる確率過程の典型例である。ウィーナー過程以外に、独立増分過程（レヴィ過程）、ガウス過程、マルチンゲール、マルコフ過程、マルコフ連鎖、定常過程といった確率過程がある。

参考文献

• 伏見康治 『確率論及統計論』 河出書房、1942年。ISBN 9784874720127。
• 日本数学会 『数学辞典』 岩波書店、2007年。ISBN 9784000803090。

関連項目

• ブラウン運動
• 確率微分方程式
• 伊藤過程
• ブラック-ショールズ方程式
• MCMC
• R言語 - 複雑な確率過程モデルを簡潔に記述できるフリーの統計解析環境。
• GNU Octave - 信号処理等も得意とするフリーのmatlabに似た数値計算言語。
• Scilab - INRIAによるmatlab風な数値計算言語。