ja>官翁 |
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| − | [[Image:RechtwKugeldreieck.svg|frame|right|球面三角形]]
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| − | '''球面三角法'''（きゅうめんさんかくほう、{{lang-en-short|spherical trigonometry}}）とは、いくつかの[[球面|大円]]で囲まれた[[球面]]上の[[図形]]（'''球面多角形'''、とくに'''球面三角形'''）の[[辺]]や[[角度|角]]の[[三角関数]]間の関係を扱う[[球面幾何学]]の一分野である。
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| − | [[平面]]上の[[三角法]]との最大の違いは、辺の大きさが長さではなく球の中心角によって表されることにある。
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| − | [[三角関数|平面三角法]]では6つの要素のうち3つの要素が決定されれば、残りの3つの要素を求めることができる。球面三角法でも同様に、3つの要素が分かれば残りの3つの要素を求めることができる<ref>渡辺敏夫 『数理天文学』 恒星社厚生閣 p.41</ref>。
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| − | 球面三角法は、主に[[天文学]]や[[航海術]]で利用されてきた。現在では[[コンピュータ|電子計算機]]の発達により、より簡潔に式を表すことができる[[行列]]を使用した座標変換に計算方法が移行している<ref>『天体の位置計算』、長沢工、地人書館 p.12-32</ref>。
| + | '''球面三角法'''（きゅうめんさんかくほう、{{lang-en-short|spherical trigonometry}}） |
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| − | == 球面三角法の基本公式 ==
| + | 歴史的には天文学の研究に伴って起ったもので，球面三角形の角，辺の間にある関係を三角関数の諸法則を用いて考察し，その応用面をも研究する数学の一分野である。球面三角法を適用する空間図形のなかで基本的なものは，頂点を球の中心にもつ三面角である。この三面角の隣合う2面によってつくられる二面角<i>A</i>，<i>B</i>，<i>C</i> は，三面角の3つの面と球面とが交わってできる球面三角形の角をつくる。いま <i>A</i>，<i>B</i>，<i>C</i> に相対する面角をそれぞれ α，β，γ とすれば，これら6つの角の間にはいくつかの基本的な関係がある。たとえば正弦公式: sin α/ sin <i>A</i>＝ sin β/ sin <i>B</i>＝ sin γ/ sin <i>C</i> ;正弦余弦公式: cos α＝ cos β cos γ＋ sin β sin γ cos <i>A</i>; cos <i>A</i>＝－ cos <i>B</i> cos <i>C</i>＋ sin <i>B</i> sin <i>C</i> cos α 。また球面三角形の面積 <i>S</i> は，球の半径を <i>r</i> とすれば，<i>S</i>＝<i>Er</i> |
| − | ABC を球面三角形とし辺 BC, CA, AB をそれぞれ a, b, c とする。弧ABを含む大円と弧 AC を含む大円がなす角を A、同様に B, C も決定する。そのとき、次の式が成り立つ<ref>渡辺敏夫 『数理天文学』 恒星社厚生閣 p.43</ref>。
| + | <sup>2</sup> で与えられる。ただし，<i>E</i> は角 <i>A</i>，<i>B</i>，<i>C</i> をラジアンではかったときの角過剰 (<i>A</i>＋<i>B</i>＋<i>C</i>)－π である。 |
| − | | + | |
| − | 球面三角法の[[余弦定理]]
| + | {{テンプレート:20180815sk}} |
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| − | :<math>\begin{align}
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| − | \cos a &= \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A \\
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| − | \cos b &= \cos c \cos a + \sin c \sin a \cos B \\
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| − | \cos c &= \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C
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| − | \end{align}</math>
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| − | 球面三角法の[[正弦定理]]
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| − | :<math>\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}</math>
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| − | 正弦余弦定理
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| − | :<math>\begin{align}
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| − | \sin a \cos B &= \cos b \sin c - \sin b \cos c \cos A \\
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| − | \sin a \cos C &= \cos c \sin b - \sin c \cos b \cos A
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| − | \end{align}</math>
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| − | 球面三角法の[[正接定理]]
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| − | : <math>\frac{\tan \frac{A+B}{2}}{\tan \frac{A-B}{2}} = \frac{\tan \frac{a+b}{2}}{\tan \frac{a-b}{2}}</math>
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| − | 球面三角法の[[余接定理]]
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| − | : <math>\cot a \sin b = \cos b \cos C + \cot A \sin C</math>
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| − | 面積（球面の半径 <math>=r</math>）
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| − | : 球面三角形ABCの面積<math>=(A+B+C-\pi)r^2</math> | |
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| − | == 誘導定理 ==
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| − | :<math>2s=a+b+c</math> 、 <math>2S=A+B+C</math>とおく。
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| − | :<math>\begin{align}
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| − | \sin{\frac{A}{2}} &= \sqrt{\frac{\sin (s-b) \sin (s-c)}{\sin b \sin c}} \\
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| − | \cos{\frac{A}{2}} &= \sqrt{\frac{\sin s \sin (s-a)}{\sin b \sin c}} \\
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| − | \tan{\frac{A}{2}} &= \sqrt{\frac{\sin(s-b) \sin(s-c)}{\sin s \sin(s-a)}}
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| − | \end{align}</math>
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| − | | |
| − | :<math>\begin{align}
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| − | \sin{\frac{a}{2}} &= \sqrt{\frac{-\cos S \cos (S-A)}{\sin B \sin C}} \\
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| − | \cos{\frac{a}{2}} &= \sqrt{\frac{\cos (S-B) \sin (S-C)}{\sin B \sin C}} \\
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| − | \tan{\frac{a}{2}} &= \sqrt{\frac{-\cos S \cos(S-A)}{\cos(S-B) \cos(S-C)}}
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| − | \end{align}</math>
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| − | :<math>\cos a \cos C = \sin a \cot b - \sin C \cot B</math>
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| − | == 直角球面三角形 ==
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| − | 天文学や航海術では一つの角が直角の場合が多く、この場合公式は簡単になる<ref>渡辺敏夫 『数理天文学』 恒星社厚生閣 p.49</ref>。
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| − | :<math>\angle C = 90^\circ </math> とする。
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| − | | |
| − | :<math>\sin a = \sin c \sin A , \sin b = \sin c \sin B</math> | |
| − | :<math>\cos a \sin b = \sin c \cos A , \cos b \sin a = \sin c \cos B</math>
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| − | :<math>\cos c = \cos a \cos b = \cot A \cot B</math>
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| − | :<math>\cos b \sin A = \cos B , \cos a \sin B = \cos A</math>
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| − | :<math>\tan a = \sin b \tan A = \tan c \cos B</math>
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| − | :<math>\tan b = \sin a \tan B = \tan c \cos A</math>
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| − | これらを記憶するために'''[[ジョン・ネイピア|ネイピア]]の法則'''がある。
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| − | === ネイピアの法則 ===
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| − | [[画像:Neper's Circle.png|right|thumb|250px|ネイピアの円と直角球面三角形]]
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| − | ネイピアの円で <math>\bar a = 90^\circ - a , \bar b = 90^\circ - b </math>である。
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| − | | |
| − | ネイピアの円のどれか一つの要素を'''中央要素'''とし、その隣の要素を'''隣接要素'''、さらにその隣にあり中央要素の反対側にある2つの要素を'''対向要素'''とする。このときネイピアの法則は次の式で表すことができる。
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| − | | |
| − | : '''中央要素'''の余弦 = '''隣接要素'''の余接の積
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| − | : '''中央要素'''の余弦 = '''対向要素'''の正弦の積
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| − | {{-}}
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| − | == 象限三角形 ==
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| − | 球面三角形の一辺が<math>90^\circ</math>となっているものを象限三角形という。この場合も公式は簡単になる<ref>渡辺敏夫 『数理天文学』 恒星社厚生閣 p.50</ref>。ここで<math>c=90^\circ</math>とする。
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| − | :<math>\cos C= -\cot a \cot b</math>
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| − | :<math>\sin A= \sin a \sin C , \sin B= \sin b \sin C</math>
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| − | :<math>\cos b= \sin a \cos B , \cos a= \sin b \cos A</math>
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| − | :<math>\tan A= -\cos b \tan C , \tan B= -\cos a \tan C</math>
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| − | :<math>\tan A= \tan a \sin B , \tan B= \tan b \sin A</math>
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| − | 象限三角形もネイピアの円に <math>\bar A ,\bar B, a,-\bar C,b </math> をあてはめると、ネイピアの法則を適合することができる。
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| − | == 双対原理 ==
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| − | 球面三角形の法則は、それぞれの要素の向かい合った要素の補角に置き換えても成り立つ。これを'''双対原理'''という<ref>渡辺敏夫 『数理天文学』 恒星社厚生閣 p.52</ref>。具体例をあげると
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| − | : <math>\cos a = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A </math>
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| − | より
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| − | : <math>\cos(180^\circ -A) = \cos(180^\circ -B) \cos(180^\circ -C) + \sin(180^\circ -B) \sin(180^\circ -C) \cos (180^\circ -a) </math>
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| − | が成り立つ。
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| − | == haversine 半正矢関数 ==
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| − | {{main|{{仮リンク|半正矢関数の公式|en|Haversine formula}}}}
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| − | : <math>\operatorname{hav}x \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \frac{1}{2}(1-\cos x) = \sin ^2\frac{x}{2} </math>
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| − | で定義される半正矢関数 <math>\operatorname{hav}() </math> が航海用として使用されていた。定義よりこの関数の値は常に正であり、<math>\operatorname{hav}(-x) = \operatorname{hav}x </math> である<ref>渡辺敏夫 『数理天文学』 恒星社厚生閣 p.52</ref>。
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| − | : <math> \cos x = 1-2\operatorname{hav}x </math> から、最初の球面三角法の余弦定理を書き直すと
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| − | : <math> 1-2\operatorname{hav}a = \cos b \cos c + \sin b \sin c (1-2\operatorname{hav}A) </math>
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| − | より
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| − | : <math> \operatorname{hav}a\ = \operatorname{hav}(b-c)+\sin b \sin c\ \operatorname{hav} A
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| − | </math> | |
| − | となる。
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| − | == ドランブル (Delambre) の公式 ==
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| − | [[ジャン＝バティスト・ジョゼフ・ドランブル]]による。
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| − | :<math>\begin{align}
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| − | \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{c}{2} &= \cos \frac{a+b}{2} \sin \frac{C}{2} \\
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| − | \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{c}{2} &= \cos \frac{a-b}{2} \cos \frac{C}{2} \\
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| − | \cos \frac{A-B}{2} \sin \frac{c}{2} &= \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{C}{2} \\
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| − | \sin \frac{A-B}{2} \sin \frac{c}{2} &= \sin \frac{a-b}{2} \cos \frac{C}{2}
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| − | \end{align}</math>
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| − | == ネイピア (Napier) の公式 ==
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| − | :<math>\begin{align}
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| − | \tan \frac{A+B}{2} = \frac{\cos \dfrac{a-b}{2}}{\cos \dfrac{a+b}{2}} \cot \frac{C}{2} \\
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| − | \tan \frac{A-B}{2} = \frac{\sin \dfrac{a-b}{2}}{\sin \dfrac{a+b}{2}} \cot \frac{C}{2} \\
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| − | \tan \frac{a+b}{2} = \frac{\cos \dfrac{A-B}{2}}{\cos \dfrac{A+B}{2}} \tan \frac{c}{2} \\
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| − | \tan \frac{a-b}{2} = \frac{\sin \dfrac{A-B}{2}}{\sin \dfrac{A+B}{2}} \tan \frac{c}{2}
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| − | \end{align}</math>
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| − | == 関連項目 ==
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| − | * [[球面幾何学]]
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| − | == 脚注 ==
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| − | {{reflist|30em}} | |
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| − | == 参考文献 ==
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| − | *{{cite book|和書|title=数理天文学|author=渡辺敏夫|publisher=恒星社厚生閣|ref=harv}}
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| − | {{Normdaten}}
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| | {{DEFAULTSORT:きゆうめんさんかくほう}} | | {{DEFAULTSORT:きゆうめんさんかくほう}} |
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| | [[Category:三角法]] | | [[Category:三角法]] |
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