ja>すっとこどっこい２ |
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| − | {{Otheruses|数学|その他|リミット}} | + | '''極限'''（きょくげん、{{lang-en-short|''limit''}}） |
| − | {{redirect|収束|その他|収斂}}
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| − | {{出典の明記|date=2015年10月}}
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| − | [[数学]]においては、[[数列]]など、ある種の数学的対象をひとまとまりに並べて考えたものについての'''極限'''（きょくげん、{{lang-en-short|''limit''}}）がしばしば考察される。直感的には、数の列がある値に限りなく近づくとき、その値のことを数列の'''極限'''あるいは'''極限値'''といい、この数列は'''収束する'''という。収束しない場合は、'''発散する'''という。 | + | [[数列]]および[[関数]]について使われる。 |
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| − | 極限を表す記号として、lim (英語：limit, リミット、ラテン語：limes)という記号が一般的に用いられる。例えば次のように使う:
| + | (1) 数列の極限値 数列｛<i>a<sub>n</sub> |
| − | *<math>\lim_{n \to \infty}x_n</math>
| + | </i>｝が与えられたとする。いまある実数αがあって，<i>n</i> をどんどん大きくすれば，誤差｜<i>a<sub>n</sub> |
| − | *<math>\lim_{x \to 0}\frac{\;\sin x\;}{x}=1</math>
| + | </i>－α｜をいくらでも小さくできるとき，数列｛<i>a<sub>n</sub> |
| | + | </i>｝はαに収束するといい，このαを数列｛<i>a<sub>n</sub> |
| | + | </i>｝の極限値という。この条件は，どんなに小さい正の数εに対しても，<i>n</i> を十分に大きくとれば，<i>m</i>≧<i>n</i> である <i>a<sub>m</sub> |
| | + | </i> が｜<i>a<sub>m</sub> |
| | + | </i>－α｜＜εを満足するようにできること，すなわち <i>a<sub>m</sub> |
| | + | </i>（<i>m</i>≧<i>n</i>）がαのε近傍に入ってしまうことを意味する。 |
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| − | ==数列の極限==
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| − | {{main|数列の極限}}
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| − | {{see also|収束級数}}
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| − | [[実数]]の[[数列]]が'''収束する''' ({{lang|en|converge}}) あるいは'''有限の極限を持つ'''若しくは'''極限が有限確定である'''とは、番号が進むにつれてその数列の項がある1つの値に限りなく近づいていくことをいう。このとき確定する値をその数列の'''極限値'''という。収束しない数列は'''発散する'''({{lang|en|diverge}})といい、それらはさらに極限を持つものと持たないものに分かれる。発散する数列のうち極限を持つものには、'''正の無限大に発散する'''ものと'''負の無限大に発散する'''ものがあり、極限が確定しないものは'''振動する'''({{lang|en|oscillate}})という。
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| − | ===数列の収束===
| + | (2) 関数の極限値 数列｛<i>a<sub>n</sub> |
| − | [[自然数]]の[[逆数]]の列 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..., 1/''n'', ... を考えると、それぞれの項 1/''n'' は ''n'' が大きくなるにつれてどこまでも0に近くなっていくので、この数列は0に収束すると考えられる。このことを
| + | </i>｝は自然数 <i>n</i>（<i>n</i>＝1，2，…，<i>p</i>，…）の集合を定義域とする関数 <i>y</i>＝<i>f</i>(<i>n</i>) と考えられるから，数列の極限値の定義を拡張して，連続変換に関する一般の関数の極限値が定義される。関数を <i>f</i>(<i>x</i>) とする。いま <i>x</i> がかぎりなく一定値 <i>a</i> に近づくとき，<i>f</i>(<i>x</i>) がかぎりなく一定の値αに近づけば，αは，<i>x</i> が <i>a</i> に近づくときの <i>f</i>(<i>x</i>) の極限値であるといわれ，記号を用いて <i>f</i>(<i>x</i>)α(<i>x</i><i>a</i>) または |
| − | {{Indent|<math>\lim_{n \to \infty}{1 \over n} = 0</math>}}
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| − | あるいは
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| − | {{Indent|<math>{1 \over n} \to 0 \quad (n\to\infty)</math> ないしは <math>{1 \over n} \to 0 \quad \text{as } n\to\infty</math>}}
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| − | と書く。
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| − | [[カール・ワイエルシュトラス]]は「限りなく近づく」というあいまいな表現は使わず、[[イプシロン-デルタ論法]]を用いて厳密に収束を定義した。これによれば、数列 {''a''<sub>''n''</sub>} がある一定の値 α に収束するとは、次のようなことを言う（この場合は[[イプシロン-エヌ論法]]とも言う）: | + | [[ファイル:極限.gif|フレームなし|center]] |
| − | {{Indent|<math>\forall\ \varepsilon > 0, \ \exists\ n_0 \in\mathbb{N} \ \textrm{s.t.} \ \forall n\in\mathbb{N} \left[n>n_0\Rightarrow |a_n - \alpha|<\varepsilon \right]</math><br />
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| − | （どんなに小さな正の数 ε をとっても、その ε に対して適切な番号 ''n''<sub>0</sub> を十分大きく定めれば、''n''<sub>0</sub> より先の番号 ''n'' に対する ''a''<sub>''n''</sub> は α から ε ほども離れない範囲に全部入るようにすることができる）}}
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| − | これを用いると、''a''<sub>''n''</sub> = 1/''n'' の極限値が 0 であることを以下のようにして示すことができる。
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| − | <div style="margin:1ex 0 1em 2em;"> | + | で表される。数列の場合にならって定義すれば次のとおりである。すなわち，正の数εをどんなに小さくとっても，それに対しての正の数δを適当にとれば，0＜｜<i>x</i>－<i>a</i>｜＜δならば｜<i>f</i>(<i>x</i>)α｜＜εとなるとき，<i>f</i>(<i>x</i>) は，<i>x</i>＝<i>a</i> においてαに収束するといい，このαを <i>f</i>(<i>x</i>) の極限値という。ここでは，<i>x</i>＝<i>a</i> にはならないという立場であるが，<i>x</i>＝<i>a</i> を入れる立場もある。 |
| − | (証明)<div style="text-indent:1em">自然数は上に[[有界]]でない（[[アルキメデスの性質]]）ので、<div style="text-indent:1em"><math>\forall \varepsilon>0 \;\exist n_0\;\forall n \left[n>n_0\Longrightarrow n>\frac{1}{\varepsilon}\right]</math></div>従って<div style="text-indent:1em"><math>\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}<\varepsilon\ (n>n_0)\Longleftrightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0</math></div></div> | |
| − | </div> | |
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| − | ===極限値の性質===
| + | (3) 上記を一般化して，[[位相空間]]内の極限値，ネットに関するムーア・スミスの極限値，フィルターの極限値などが定義されている。 |
| | + | |
| | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
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| − | * 数列が収束するとき、その極限値はただ一つに限る。すなわち
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| − | *:<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha, \lim_{n\to\infty}a_n=\beta \Longrightarrow \alpha=\beta</math>
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| − | * 数列の有限個の項を削除、追加あるいは値を変えて新たな数列を得たとしたとき、これらは一方が収束すれば他方も収束し極限値も等しい。
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| − | * 収束する数列は数の集合として有界である。すなわち、
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| − | *:<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\Longrightarrow \exist K\; \forall n \;\ |a_n|<K</math>
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| − | *<math>\forall n\; a_n \le b_n,\; \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\; \lim_{n\to\infty}b_n=\beta \Longrightarrow \alpha \le \beta</math>
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| − |
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| − | ===数列の発散===
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| − | 数列が収束しないとき、その数列は'''発散する'''という。特に、項数 ''n'' を限りなく大きくしていくとき、数列の項の値 ''a''<sub>''n''</sub> が限りなく大きくなることを、数列 {''a''<sub>''n''</sub>} は'''正の無限大に発散する'''といい、
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| − | {{Indent|<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\infty</math>}}
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| − | または
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| − | {{Indent|<math>a_n\to\infty\; (n\to\infty)</math>}}
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| − | のように表す。イプシロン-デルタ論法では、数列の正の無限大への発散は
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| − | {{Indent|<math>\forall K > 0 \; \exist n_0 \in \mathbb{N} \;\forall n \in \mathbb{N}\;\bigg[n>n_0 \Longrightarrow a_n > K\bigg]</math>}}
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| − | のように定式化される。
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| − |
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| − | また、項数 ''n'' を限りなく大きくしていくとき、数列の項の値 ''a''<sub>''n''</sub> が限りなく小さくなることを、数列 {''a''<sub>''n''</sub>} は'''負の無限大に発散する'''といい、
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| − | {{Indent|<math>\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty</math>}}
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| − | または
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| − | {{Indent|<math>a_n\to -\infty\; (n\to\infty)</math>}}
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| − | と表す。数列 {''a''<sub>''n''</sub>} が負の無限大への発散することは、各項 ''a''<sub>''n''</sub> をマイナスに取り替えて得られる数列 {''b''<sub>''n''</sub>} (''b''<sub>''n''</sub> = −''a''<sub>''n''</sub>, ''n'' = 1, 2, 3, ...) が正の無限大に発散することに同じである。あるいは絶対値をとって得られる数列 {''c''<sub>''n''</sub>} (''c''<sub>''n''</sub> = |''a''<sub>''n''</sub>|, ''n'' = 1, 2, ...) が正の無限大に発散すると言っても同じである。イプシロン-デルタ論法では、
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| − | {{Indent|<math>\forall K < 0\; \exist n_0\isin\mathbb{N}\;\forall n \in \mathbb{N}\; \bigg[n>n_0 \Longrightarrow a_n < K\bigg]</math>}}
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| − | となる。
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| − |
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| − | 数列が収束せず、また正の無限大にも負の無限大にも発散しない場合、その数列は'''振動する'''という。振動も発散の一種である。
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| − | === 様々な極限 ===
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| − | {{Main|上極限と下極限}}
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| − | 実数の列 (''x''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''</sub> がある数 ''R'' について ''R'' < ''x''<sub>''n''</sub> を満たしているとき（数列 (''x''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''</sub> が'''下に有界'''なとき） (''x''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''</sub> の下極限と呼ばれる数
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| − | {{Indent|<math>\varliminf_{n\to\infty}x_n</math>}}
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| − | を定めることができる。同様にして、上に有界な数列に対しその上極限
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| − | {{Indent|<math>\varlimsup_{n\to\infty}x_n</math>}}
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| − | が定義される。数列 (''x''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''</sub> が極限を持つのは <math>\textstyle\varliminf_{n\to\infty}x_n = \varlimsup_{n\to\infty}x_n</math> となる場合であり、このとき。
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| − | {{Indent|<math>\lim_{n\to\infty} x_n = \varliminf_{n\to\infty}x_n = \varlimsup_{n\to\infty}x_n</math>}}
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| − | となる。
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| − | さらに、有界な数列のなすベクトル空間 ''l''<sub>∞</sub>'''N''' に対して抽象的な関数解析の構成を適用し、任意の有界な数列 (''x''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''</sub> に対してバナッハ極限と呼ばれる数 LIM ''x''<sub>''n''</sub> を、古典的な極限の拡張となるように定めることができる。
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| − | ===点列===
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| − | [[ユークリッド空間]]のように、[[距離函数|距離]] ''d'' の定まった空間における点の列についての収束の概念を、実数の列の収束の概念を拡張して定めることができる。すなわち、点列 (''x''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''</sub>が点 ''y'' に収束するとは、正の実数列 (''d''(''x''<sub>''n''</sub>, ''y''))<sub>''n''</sub> が 0 に収束することである。この概念をさらに一般化して、自然数によって数え上げられるとは限らない「列」とその収束性を一般の[[位相空間]]に対して定式化することができる。（[[#位相空間]]節を参照のこと）
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| − | 距離 ''d'' に関する極限であることを明示するために lim の代わりに ''d''-lim などと書くこともある。
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| − | ==関数==
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| − | {{main|関数の極限}}
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| − | === 変数の収束に伴う関数の挙動 ===
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| − | ''f''(''x'') を実関数とし、''c'' を実数とする。式
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| − | {{Indent|<math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>}}
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| − | または
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| − | {{Indent|<math>f(x) \rightarrow L \quad (x \rightarrow c)</math>}}
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| − | は ''x'' の値を ''c'' に“十分に近づければ” ''f''(''x'') の値を ''L'' に望む限りいくらでも近づけることができることを意味する。このとき「''x'' を ''c'' に近づけたときの ''f''(''x'') の極限は ''L'' である」という。これは[[イプシロン-デルタ論法]]により
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| − | {{Indent|<math>\forall \epsilon>0 \quad \exist \delta>0 \quad \forall x \;\quad \bigg[ 0<|x-c|<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon \bigg]</math>}}
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| − |
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| − | という形で厳密に定義される。このとき、この極限と関数 ''f''(''x'') の ''x'' = ''c'' における値は無関係であり、''f''(''c'') ≠ ''L'' であることもあれば ''f'' が ''c'' において定義されている必要もないのである。
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| − | このことを理解するために次の例を挙げる。
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| − | {{mvar|x}} が {{math|2}} に近づくときの {{math|1=''f''(''x'') = ''x''/(''x''{{sup|2}} + 1)}} の値を考える。この場合、{{math|''f''(''x'')}} は {{mvar|x}} が {{math|2}} のときに定義されており、値は {{math|0.4}} である。
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| − |
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| − | * <math>f(1.9)=0.4121</math>
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| − | * <math>f(1.99)=0.4012</math>
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| − | * <math>f(1.999)=0.4001</math>
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| − |
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| − | {{mvar|x}} が {{math|2}} に近づくにつれて {{math|''f''(''x'')}} が {{math|0.4}} に近づいていく。したがって、 <math>\lim_{x\to 2}f(x)=0.4</math> である。このように <math>f(c) = \lim_{x\to c} f(x)</math> であるとき、{{math|''f''(''x'')}} は {{math|1=''x'' = ''c''}} で[[連続関数|連続]]であるという。しかし、このようなことが常に成り立つとは限らない。
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| − |
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| − | 例として、
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| − | {{Indent|<math>g(x)=\begin{cases} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{if }x\ne 2 \\ 0, & \mbox{if }x=2 \end{cases}</math>}}
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| − | を考える。{{mvar|x}} が {{math|2}} に近づくときの {{math|''g''(''x'')}} の極限は {{math|0.4}} であるが、<math>\lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2)</math> である。このとき {{math|''g''(''x'')}} は {{math|1=''x'' = 2}} で連続でないという。
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| − |
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| − | また、{{math|''x'' → ''c''}} のとき、{{math|''f''(''x'')}} の値が限りなく大きくなることを、「{{mvar|x}} が {{mvar|c}} に限りなく近づくとき関数 {{math|''f''(''x'')}} は正の無限大に発散する」といい、
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| − |
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| − | {{Indent|<math>\lim_{x\to c}f(x)=\infty</math>}}
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| − |
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| − | または
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| − |
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| − | {{Indent|<math>f(x)\to \infty\quad (x\to c)</math>}}
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| − |
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| − | と表す。このことは次のように厳密に定義される。
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| − |
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| − | {{Indent|<math>\forall K >0 \quad \exist \delta>0 \quad \forall x \quad \bigg[0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)>K \bigg]</math>}}
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| − |
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| − | 逆に、{{math|''x'' → ''c''}} のとき、{{math|''f''(''x'')}} の値が限りなく小さくなることを、「{{mvar|x}} が {{mvar|c}} に限りなく近づくとき関数 {{math|''f''(''x'')}} は負の無限大に発散する」といい、
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| − |
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| − | {{Indent|<math>\lim_{x\to c}f(x)=-\infty</math>}}
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| − |
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| − | または
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| − |
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| − | {{Indent|<math>f(x)\to -\infty\quad (x\to c)</math>}}
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| − |
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| − | と表す。これは次のように厳密に定義される。
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| − |
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| − | {{Indent|<math>\forall K <0 \quad \exist \delta>0 \quad \forall x \quad \bigg[0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)<K \bigg].</math>}}
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| − |
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| − | 連続な実関数 {{math|''f''(''x'')}} が {{math|''x'' → ''c''}} とする極限において発散するならば、{{math|''f''(''x'')}} は {{math|1=''x'' = ''c''}} において定義できない。なぜなら、定義されていたとすると {{math|1=''x'' = ''c''}} は不連続点となるからである。
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| − | === 無限遠点における挙動 ===
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| − | 一般には {{mvar|x}} がある有限の値に近づくときを考えることが多いが、{{mvar|x}} が正か負の[[無限]]に近づくときの関数の極限を定義することもできる。
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| − |
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| − | ある無限区間 <math>(a,\infty)</math>（を含む集合）で定義される関数 ''f''(''x'') において、''x'' が限りなく大きくなると関数 ''f''(''x'') の値がある値 ''L'' に近づくとき、「''x'' が限りなく大きくなるとき ''f''(''x'') は ''L'' に収束する」といい、
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| − |
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| − | {{Indent|<math>\lim_{x\to\infty}f(x)=L</math>}}
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| − | または
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| − | {{Indent|<math>f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow\infty)</math>}}
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| − | と表す。
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| − | これは次のように定義される。
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| − | {{Indent|<math>\forall \epsilon>0 \quad \exist X >0 \quad \forall x \quad \bigg[x>X \Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon \bigg].</math>}}
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| − | 例えば、 <math>f(x) = 2x/(x + 1)</math> を考える。
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| − | * <math>f(100) = 1.9802</math>
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| − | * <math>f(1000) = 1.9980</math>
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| − | * <math>f(10000) = 1.9998</math>
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| − | {{mvar|x}} が十分大きくなるにつれて、{{math|''f''(''x'')}} は {{math|2}} に近づく。このとき、 <math> \lim_{x \to \infty} f(x) = 2 </math> と表す。
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| − | また、ある無限区間 <math>(-\infty,a)</math> で定義される関数 {{math|''f''(''x'')}} において、''x'' が限りなく小さくなると関数 {{math|''f''(''x'')}} の値がある値 ''L'' に近づくとき、「''x'' が限りなく小さくなるとき {{math|''f''(''x'')}} は ''L'' に収束する」といい、
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| − | {{Indent|<math>\lim_{x\to -\infty}f(x)=L</math>}}
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| − | または
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| − | {{Indent|<math>f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow -\infty)</math>}}
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| − | と表す。
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| − | これは次のように定義される。
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| − | {{Indent|<math>\forall \epsilon>0 \quad \exist X <0 \quad \forall x \quad \bigg[x<X \Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon \bigg].</math>}}
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| − | 関数の無限における極限においても、関数の発散を考えることができる。
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| − | ある無限区間 <math>(a,\infty)</math> で定義される関数''f''(''x'')において、''x''が限りなく大きくなると関数''f''(''x'')の値も限りなく大きくなるとき、「''x''が限りなく大きくなるとき''f''(''x'')は正の無限大に発散する」といい、
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| − | {{Indent|<math>\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty</math>}}
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| − | または
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| − | {{Indent|<math>f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow\infty)</math>}}
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| − | と表す。
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| − | これは次のように定義される。
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| − | {{Indent|<math>\forall K >0 \quad \exist X >0 \quad \forall x \quad \bigg[x>X \Longrightarrow f(x)>K \bigg].</math>}}
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| − |
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| − | また、ある無限区間<math>(-\infty,a)</math> で定義される関数 ''f''(''x'') において、''x'' が限りなく小さくなると関数 ''f''(''x'') の値が限りなく大きくなるとき、「''x'' が限りなく小さくなるとき ''f''(''x'') は正の無限大に発散する」といい、
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| − | {{Indent|<math>\lim_{x\to -\infty}f(x)=\infty</math>}}
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| − |
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| − | または
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| − |
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| − | {{Indent|<math>f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow -\infty)</math>}}
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| − | と表す。
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| − | これは次のように定義される。
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| − | {{Indent|<math>\forall K >0 \quad \exist X <0 \quad \forall x \quad \bigg[x<X \Longrightarrow f(x)>K \bigg].</math>}}
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| − | 同様に、<math>x\rightarrow \infty</math> や <math>x\rightarrow -\infty</math> における負の無限大への発散を定義することができる。
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| − | <math>x\rightarrow \infty</math> や <math>x\rightarrow -\infty</math> において、関数 ''f''(''x'') が収束もせず、また正の無限大にも負の無限大にも発散しない場合、その関数は数列と同様に振動するという。
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| − | ==関数列の収束==
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| − | <math>I \sub \mathbb{R},\;f_n,f\colon I \rightarrow \mathbb{R}</math> とする。
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| − | {''f<sub>n</sub>''} が ''f'' に ''I'' 上'''[[各点収束]]'''するとは、
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| − | {{Indent|<math>\forall \epsilon >0 \quad \forall x \in I \quad \exist n_0 \in \mathbb{N} \quad \forall n \in \mathbb{N} \quad \bigg[n \ge n_0 \Rightarrow |f_n(x) - f(x)|< \epsilon \bigg]</math>}}
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| − | が成り立つことである。これは、
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| − | {{Indent|各 <math>x \in I</math> に対して、 <math>|f_n(x)-f(x)| \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty )</math>}}
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| − | と[[同値]]である。これを各点収束の定義とすることもある。
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| − | {''f<sub>n</sub>''} が ''f'' に ''I'' 上'''[[一様収束]]'''するとは、
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| − | {{Indent|<math>\forall \epsilon >0 \quad \exist n_0 \in \mathbb{N} \quad \forall x \in I \quad \forall n \in \mathbb{N} \quad \bigg[n \ge n_0 \Rightarrow |f_n(x) - f(x)|< \epsilon\bigg]</math>}}
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| − | が成り立つことである。これは、
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| − | {{Indent|<math>\| f_n-f \|_{\infty} := \sup_{x \in I} |f_n(x)-f(x)| \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty )</math>}}
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| − | と同値である。上で定義したノルムをスープノルム（または[[無限大ノルム]]、上限ノルム）と言う。スープノルムの収束をもって一様収束を定義することもある。
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| − | また、区間 ''I'' の任意の[[コンパクト空間|コンパクト集合]]上一様収束することを'''[[広義一様収束]]'''という。''I'' の任意の有界閉区間上一様収束することを広義一様収束ということもある。
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| − | 定義より、「''f<sub>n</sub>'' が ''I'' 上一様収束⇒''f<sub>n</sub>'' が ''I'' 上各点収束」が成り立つ（逆は必ずしも成り立たない）。関数の一様収束性は、lim と ∫ の順序交換や、{{ill2|函数項級数|en|Function series}}の項別積分や項別微分の可能性を保証する（逆に言えば、一様収束が保証されていない段階では、勝手に lim と ∫ の順序を交換したりなどしてはいけない）。
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| − | 関数の一様収束性を証明するには、上のようにスープノルムの収束を示すのが一般的である。関数項級数の一様収束性では[[ワイエルシュトラスのM判定法]]も用いられる。
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| − | {{seealso|関数空間}}
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| − | ==位相空間==
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| − | 点列の収束の概念は、一般の[[位相空間]]においても収束先の近傍系をもちいて定式化される。しかし、一般的な位相空間の位相構造は、どんな点列が収束しているかという条件によって特徴付けできるとは限らない。そこで、[[ネット (数学)|ネット]]や[[フィルター (数学)|フィルター]]といった、点列を拡張した構成とその収束の概念が必要になる。任意の位相空間 ''X'' に対し、''X'' 上で収束している（収束先の情報も込めた）フィルターの全体 CN(''X'') や、あるいは収束しているフィルターの全体 CF(''X'') を考えると、これらからは ''X'' の位相が復元できる。
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| − | ==圏論==
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| − | {{main|極限 (圏論)}}
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| − | [[圏 (数学)|圏]] ''C'' における[[図式 (圏論)|図式]]を「[[添字圏]]」 ''J'' から ''C'' への[[関手]]と見なすことにする。特定の図式に対応する関手が与えられたとき、''C'' の[[対象 (圏論)|対象]] ''X'' と[[射 (圏論)|射]]の[[族 (数学)|族]] (φ<sub>''i''</sub>: ''X'' → ''F''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈Obj(''J'')</sub> に対して次のような条件を考えることができる：
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| − | # ''J'' の任意の射 ''j'' について ''F''(''j'') φ<sub>''i''<sub>0</sub></sub> = φ<sub>''i''<sub>1</sub></sub> が成り立つ。ここで ''i''<sub>0</sub> = dom ''j''、''i''<sub>1</sub> = ran ''j'' である。
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| − | # ''C'' の任意の対象 ''Y'' と射の族 (φ<sub>''i''</sub>: ''X'' → ''F''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈Obj(''J'')</sub> で、1. と同様の条件を満たすものについて射 ''g'': ''Y'' → ''X'' で φ<sub>''i''</sub> ''g'' = ψ<sub>''i''</sub> (''i'' ∈ Obj(''J''))を満たすものが一意的に存在する。
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| − | このような条件を満たす ''X'' （と族 φ<sub>''i''</sub>）のことを ''F'' が表す図式の[[極限 (圏論)|極限]]（あるいは[[射影極限]]、逆極限）とよぶ。極限の満たす[[普遍性]]により、それぞれの図式に対する極限は（あったとして）自然な同型をのぞき一意に定まる。
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| − | 極限の典型的な例として、対象の族 (''X''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈''I''</sub> の[[直積 (圏論)|直積]] ∏<sub>''i''</sub> ''X''<sub>''i''</sub> や二つの射 ''f'', ''g'': ''X'' → ''Y'' の[[等化射]]があげられる。特定の形 ''J'' の図式について必ず ''C'' における極限が存在するとき、図式から極限への対応は[[函手圏|図式圏]] ''C''<sup>''J''</sup> への[[対角関手]] Δ ''C'' → ''C''<sup>''J''</sup> に対する[[右随伴関手]]としてとらえることができる。
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| − | この[[双対 (圏論)|双対概念]]は[[余極限]]（あるいは[[帰納極限]]や順極限）と呼ばれる。
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| − | {{seealso|有向集合}}
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| − | ==関連項目==
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| − | *[[片側極限]]
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| − | *[[極限の一覧]]
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| | {{DEFAULTSORT:きよくけん}} | | {{DEFAULTSORT:きよくけん}} |
