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[[画像:二次元斜交座標系.JPG|right|斜交座標系（2次元）]] '''斜交座標系'''（しゃこうざひょうけい、''oblique coordinate system''） 斜めに交わった[[数直線]]を軸とする[[座標系]]である。[[直交座標系]]の拡張としてとらえられる。 == 2次元平面における斜交座標系 == 2本の[[数直線]]''x'' 、''y'' が定点Oを共通の[[原点]]として、なす角&theta; &ne; 0&deg;,90&deg;,180&deg;で交わっているとき、その座標系はx軸、y軸からなる斜交座標となる。 座標平面上の全ての点Pは、その点からx軸、y軸に関して[[平行]]線をひくことにより、P(a, b)と一意に表すことができる。 逆にある座標P(a,b)が与えられれば、Pの座標平面上の位置は一意に決定される。 なお、2本の軸のなす角&theta;が&theta; = 90&deg;のときは直交座標系となる。 == 直交座標系との座標変換 == x軸、y軸からなる斜交座標系と共通の原点を持つx'軸、y'軸からなる直交座標系について、x軸、y軸がx'軸となす角をそれぞれ<math>\theta_x</math>、<math>\theta_y</math>とする。<br> 斜交座標系でP(a, b)と表されている点を直交座標(a', b')に[[座標変換]]する公式は以下である： : <math>\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\theta_x&\cos\theta_y\\\sin\theta_x&\sin\theta_y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}</math> == 内積 == {{see also|ベクトルの共変性と反変性}} 直交座標系の場合は、2つの[[ベクトル]]<math>\vec{u}=(u_x, u_y), \vec{v}=(v_x, v_y)</math>の[[内積]]はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる： : <math>\begin{align}\vec{u}\cdot\vec{v} &= u_x u_y+(u_x v_y+u_y v_x)\cos\theta+v_x v_y\\ &= \begin{pmatrix}u_x&u_y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&\cos\theta\\\cos\theta&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}\end{align}</math> ここで右辺に現れる行列は、[[計量テンソル]]に一般化される。 あるいは次のようにも表現できる<ref>{{cite|和書 |author=W. フリューゲ|translator=後藤学 |title=テンソル解析と連続体力学 |publisher=ブレイン図書出版 |year=1979 |isbn= |pages=3-6}}</ref><ref>''uⁱ v_i'' などには[[アインシュタインの縮約記法]]が適用され、総和記号が省略されていることに注意。</ref>： :<math>\begin{align} & \vec{u}\cdot\vec{v} = u^i v_i = u^1 v_1 + u^2 v_2, \\ & (u^1,u^2)=(u_x,u_y),\\ & (v_1,v_2)=(v_x+v_y\cos\theta, v_x\cos\theta+v_y) \end{align}</math> このとき、添字が上についている量（''u''¹ など）を'''反変成分'''、下についている量（''v''₁ など）を'''共変成分'''という。各座標軸の方向を向く[[単位ベクトル]]（'''共変基底ベクトル'''）を<math>\vec{e}_1,\vec{e}_2</math> とすれば、反変成分を用いて :<math>\vec{u} = u^i\vec{e}_i = u^1\vec{e}_1+u^2\vec{e}_2</math> と書くことができる。また、'''反変基底ベクトル'''として * <math>\vec{e}^1</math>：y軸（または<math>\vec{e}_2</math>）に垂直で長さが 1/sin&theta; のベクトル * <math>\vec{e}^2</math>：x軸（または<math>\vec{e}_1</math>）に垂直で長さが 1/sin&theta; のベクトル とすれば<ref>これらのベクトルの間には、[[クロネッカーのデルタ]]を用いて、<math>\vec{e}^i\cdot\vec{e}_j = \delta^i_j</math> の関係が成り立つ。</ref>、共変成分を用いて :<math>\vec{v} = v_i\vec{e}^i = v_1\vec{e}^1+v_2\vec{e}^2</math> と書くことができる。 この例では、計量テンソル''g'' は :<math>\begin{align} g_{ij} &= \begin{pmatrix}\vec{e}_1\cdot\vec{e}_1 & \vec{e}_1\cdot\vec{e}_2 \\ \vec{e}_2\cdot\vec{e}_1 & \vec{e}_2\cdot\vec{e}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & \cos\theta \\ \cos\theta & 1\end{pmatrix}, \\ g^{ij} &= \begin{pmatrix}\vec{e}^1\cdot\vec{e}^1 & \vec{e}^1\cdot\vec{e}^2 \\ \vec{e}^2\cdot\vec{e}^1 & \vec{e}^2\cdot\vec{e}^2 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sin^2\theta}\begin{pmatrix}1 & -\cos\theta \\ -\cos\theta & 1\end{pmatrix} \end{align}</math> となる。 上記の議論は<math>\vec{u}, \vec{v}</math> を入れ替えても同様に成り立つ。 == 脚注 == {{reflist}} == 関連項目 == *[[直交座標系]] *[[極座標系]] {{テンプレート:20180815sk}} {{デフォルトソート:しやこうさひようけい}} [[Category:座標]] [[Category:数学に関する記事]]

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