数値積分

数値積分（すうちせきぶん）とは、狭義には与えられる関数の定積分の値を、解析的にではなく数値的に求めることであり、広義には与えられる導関数から原関数を求めること、また微分方程式を数値的に解くことを含む。数値解析の一つである。

以下では、狭義の数値積分（一変数の関数の定積分の値を求める方法）について述べる。

近似公式

区分求積法の定義で用いられる、シンプルな長方形近似、それについでシンプルな台形公式、簡便な割に高精度なシンプソンの公式（台形公式とシンプソンの公式はニュートン・コーツの公式の一種である）、積分点を適応的に取るガウス求積やクレンショー・カーティス法（English版）などがある。また、二重指数関数型数値積分公式、IMT積分などの変数変換を用いた公式を適用すれば、被積分関数の端点に特異性がある場合でも、積分値を計算することが可能である。

ガウス求積は直交多項式の零点を活用する積分公式である。ベッセル関数の零点を活用する積分公式も開発されており、被積分関数がベッセル関数を含む場合に有効とされている^[1]^[2]。

定積分

[math]I=\int^b_a f(t)dt[/math]

の精度保証付き数値計算は、被積分関数の多項式近似と多項式の値を精度保証付き数値計算する技術の組み合わせで実現される。多項式の値を計算する際はホーナー法が使われ、多項式近似にはテイラー展開や多項式補間が使われる^[3]。

被積分関数の定義域が高次元であったりして近似公式がうまく計算できないような場合、モンテカルロ法が用いられる。このような数値積分法はモンテカルロ積分とよばれる。確率論やランダム行列理論などを用いて上記の近似公式とモンテカルロ積分を融合させたアルゴリズムも提案されている^[4]。

特異点を持つ積分の場合、佐藤超函数を経由して複素数値積分に持ち込むことで特異点を避け、誤差を抑えられる手法が提案されている^[5]。

↑ 緒方秀教, 杉原正顯, Bessel 関数を含む振動積分に対する数値積分公式, 数理解析研究所講究録915 巻 1995 年 171-181.
↑ 緒方秀教, 杉原正顯, Bessel関数の零点を標本点に持つ補間および数値積分公式, 日本応用数理学会論文誌, 6 巻 (1996) 1 号.
↑ 大石進一：「精度保証付き数値計算」、コロナ社、（1999年）
↑ Nakatsukasa, Y. (2018). Approximate and integrate: Variance reduction in Monte Carlo integration via function approximation. arXiv preprint テンプレート:Arxiv.
↑ 緒方秀教. (2017). 佐藤超函数論に基づく数値積分 (現象解明に向けた数値解析学の新展開 (2)). 数理解析研究所講究録, (2037), 57-60.