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| − | {{Otheruses|数学関数|プログラミング言語の関数|端数処理}} | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | {{出典の明記|date=2016年11月}}
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| − | [[Image:Floor function.svg|thumb|right|床関数]]
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| − | [[Image:Ceiling function.svg|thumb|right|天井関数]]
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| − | '''床関数'''（ゆかかんすう、{{lang-en-short|floor function}}）と'''天井関数'''（てんじょうかんすう、{{lang-en-short|ceiling function}}）は、[[実数]]に対しそれぞれそれ以下の最大あるいはそれ以上の最小の[[整数]]を対応付ける[[関数 (数学)|関数]]である。
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| − | “{{lang|en|floor}}”や“{{lang|en|ceiling}}”といった名称やその他の記法は、[[1962年]]に[[ケネス・アイバーソン]]によって導入された<ref>{{Harvnb|Iverson|1962}}</ref>。
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| − | ==床関数==
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| − | '''床関数'''は、[[実数]] {{mvar|x}} に対して {{mvar|x}} 以下の最大の[[整数]]と定義され、
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| − | :<math>\lfloor x \rfloor,\,\operatorname{floor}(x),\,[x]</math> | |
| − | などと書かれる。3つめの[[記号]]は'''ガウス記号'''と呼ばれる。[[カール・フリードリヒ・ガウス]]が7つの証明を示した[[平方剰余の相互法則]]の3番目の証明に用いた（1808年）ことに由来する<ref>{{Harvnb|ガウス|2012|pp=13-19}}</ref><ref>{{Harvnb|Gauss|1808|pp=5-8}}</ref>。日本、中国、ドイツなどでよく使われている。日本の高校数学や大学入試ではガウス記号が使われることがほとんどである。
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| − | 床関数を数式で表すと次のようになる。
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| − | {{indent|<math>\lfloor x \rfloor=\max\{n\in\mathbb{Z}\mid n\le x\}.</math>}}
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| − | 実数 {{mvar|x}} に対し、<math>\lfloor x \rfloor</math> を'''整数部分'''、<math>x - \lfloor x \rfloor</math> を'''[[小数]]部分'''と呼ぶ。小数部分は {{math|''x'' mod 1}} や {{math|{{mset|''x''}}}} とも書かれる。整数部分の値は床関数の値そのものであるから、例えば {{math|−2.3}} の整数部分は {{math|−2}} ではなく {{math|−3}} であること、また小数部分は {{math|−0.3}} ではなく {{math|0.7}} であることに注意が必要である（ただし、{{math|−2.3}} の整数部分を {{math|−2}} と定義する流儀（「切り捨て式」）もあるが一般的ではない。また[[プログラミング言語]]によっては「切り捨て式」を採用しているものがある）。任意の実数の小数部分は、0 以上 1 未満である。
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| − | 例えば、以下のようになる。
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| − | *<math>\lfloor 4.68 \rfloor = 4,\;\{4.68\}=0.68</math>
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| − | *<math>\lfloor e \rfloor = \lfloor\mathrm{2.71828\ldots}\rfloor = 2,\;\{e\}=0.71828\ldots</math>
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| − | *<math>\lfloor \sqrt{53} \rfloor = \lfloor 7.2801\ldots \rfloor = 7,\;\{\sqrt{53}\}=0.2801\ldots</math>
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| − | *<math>\lfloor -4 \rfloor = -4,\;\{-4\}=0</math>
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| − | *<math>\lfloor -4.68 \rfloor = -5,\;\{-4.68\}=0.32</math>
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| − | *<math>\lfloor -\pi \rfloor = \lfloor -3.14159\ldots \rfloor = -4,\;\{-\pi\}=0.8584\ldots</math>
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| − | 任意の[[有理数]]は[[帯分数]]で表せる、すなわち整数と[[真分数]]とに分解して表示できるが、この整数と真分数との関係は実数の整数部分と小数部分の関係に拡張され、任意の実数は整数部分と小数部分とに分解して表示できる。
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| − | ==天井関数==
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| − | 床関数と密接に関係しているのが'''天井関数'''である。天井関数は実数 {{mvar|x}} に対して {{mvar|x}} 以上の最小の整数と定義され、
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| − | *<math>\lceil x \rceil</math>
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| − | *<math>\operatorname{ceil} (x)</math>
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| − | *<math>\operatorname{ceiling} (x) </math>
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| − | などと書かれる。これを数式で表すと次のようになる。
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| − | {{indent|<math> \lceil x \rceil=\min\{n\in\mathbb{Z}\mid x\le n\}.</math>}}
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| − | 例えば、以下のようになる。
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| − | *<math>\lceil 4.68 \rceil = 5</math>
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| − | *<math>\lceil e \rceil = \lceil 2.71828\ldots \rceil = 3</math>
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| − | *<math>\lceil \sqrt{3} \rceil = \lceil 1.732\ldots \rceil = 2</math>
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| − | *<math>\lceil -\pi \rceil = \lceil -3.14159\ldots \rceil = -3</math>
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| − | ==床関数と天井関数の性質==
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| − | 以下 {{mvar|x}} は任意の実数とする。次の式が成り立つ。
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| − | *<math> \lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1</math>
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| − | *<math> x -1 < \lfloor x \rfloor \le x </math>
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| − | *<math> \lceil x \rceil - 1 \le \lfloor x\rfloor \le x \le \lceil x \rceil \le \lfloor x \rfloor + 1</math>
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| − | *<math>\lceil x \rceil = - \lfloor - x \rfloor</math>
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| − | *<math>\lfloor x \rfloor = - \lceil - x \rceil</math>
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| − | *任意の整数 {{mvar|k}} に対し、
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| − | *:<math>\left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor + \left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil = k</math>.
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| − | *床関数と天井関数は[[冪等]]である、すなわち
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| − | *:<math>\left\lfloor \left\lfloor \cdots \left\lfloor x \right\rfloor \cdots \right\rfloor \right\rfloor = \left\lfloor \lfloor x\rfloor \right\rfloor=\lfloor x\rfloor</math>
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| − | *:<math>\left\lceil \left\lceil \cdots \left\lceil x \right\rceil \cdots \right\rceil \right\rceil = \left\lceil \lceil x\rceil \right\rceil=\lceil x\rceil</math>
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| − | *任意の整数 {{mvar|k}} に対し、
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| − | *:<math> \lfloor {k+x} \rfloor = k + \lfloor x\rfloor</math>
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| − | *:<math> \lceil {k+x} \rceil = k + \lceil x\rceil</math>
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| − | *床関数も天井関数も[[連続関数|連続]]ではないが、[[半連続]]（床関数は上半連続、天井関数は下半連続）である。床関数と天井関数は[[区分的]]に[[定数関数]]であり、[[微分法#微分係数|微分係数]]が存在する {{mvar|x}}（すなわち、整数でない {{mvar|x}}）では微分係数は {{math|0}} である。
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| − | *{{mvar|x}} の小数点以下を四捨五入した値は、次の式で表される。
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| − | *:<math> \lfloor x + 0.5 \rfloor \quad (x \ge 0)</math>
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| − | *:<math> \lceil x - 0.5 \rceil \quad (x \le 0)</math>
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| − | *{{mvar|x}} が整数でないとき、床関数と天井関数は次のように[[フーリエ級数]]展開できる。
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| − | *:<math>\lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.</math>
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| − | *:<math>\lceil x\rceil = x + \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.</math>
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| − | *床関数と天井関数の平均は次のようにフーリエ級数展開できる。
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| − | *:<math> \frac 1 2 \left( \lfloor x\rfloor + \lceil x\rceil \right) = x + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.</math>
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| − | === 床関数の性質 ===
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| − | * {{math|''x'' > 0}} かつ {{math|''n'' > 0}} のとき、次の式が成り立つ。
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| − | *:<math> \left\lfloor \frac{n}{x} \right\rfloor \geq \frac{n}{x} - \frac{x-1}{x} .</math>
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| − | *{{mvar|n}} が整数のとき、{{math|''n'' ≤ ''x''}} と <math>n \le \lfloor x \rfloor</math> は同値である。意匠を凝らした言い方では、床関数は[[ガロア接続]]の片翼を担っており、整数を実数へ埋め込む関数の上随伴である。
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| − | *床関数を用いると、いくつかの[[素数]]生成式をつくることができる (ただしこれらは実際の計算には役立たない)。1つの例として、<math display="inline">n</math>番目の素数<math display="inline">p(n)</math>は<math>p(n) = 1 + \sum_{j=1}^{2^n} \left\lfloor \sqrt[n]{ \frac{n}{\sum_{i=1}^{j} \left\lfloor \cos^2 \frac{(i-1)! + 1}{i} \pi \right\rfloor } } \right\rfloor.</math>
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| − | *[[互いに素]]である[[正の数と負の数|正]]の整数 {{math|''m'', ''n''}} に対し、次の式が成り立つ。
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| − | *:<math>\sum_{i=1}^{n-1} \left\lfloor \frac{im}{n} \right\rfloor = \frac{(m - 1)(n - 1)}{2}.</math>
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| − | *{{仮リンク|ビーティの定理|en|Beatty's theorem}}は、任意の正の[[無理数]]が、床関数を用いて[[自然数]]の集合を2つに分ける方法を表している。
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| − | *正の整数 {{mvar|k}} を {{mvar|n}} [[位取り記数法|進法]]で表すと、<math>\lfloor \log_n k \rfloor + 1</math> 桁となる。
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| − | ==切り捨て==
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| − | 床関数は実数から整数への関数であるが、一般に実数の[[端数処理#切り捨て・切り上げ|切り捨て]]とは任意の桁においても行われるものであり、小数第1位での切り捨てとは限らない。
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| − | ==組版==
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| − | 床関数は <math>\lfloor x \rfloor</math>、天井関数は<math>\lceil x \rceil</math> と上下の欠けた角括弧で表される。これらは、[[LaTeX|{{LaTeX}}]] では <code>\lfloor</code>, <code>\rfloor</code>, <code>\lceil</code>, <code>\rceil</code> と書かれる。{{lang|en|Unicode}} では <code>U+2308</code> から <code>U+230B</code> に割り当てられている。
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| − | {| class="wikitable" style="text-align:center;" lang="en" xml:lang="en"
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| − | |- lang="ja" xml:lang="ja"
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| − | !記号!![[Unicode]]!![[JIS X 0213]]!![[文字参照]]!!名称
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| − | {{CharCode|8968|2308|-|LEFT CEILING|lceil}}
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| − | {{CharCode|8969|2309|-|RIGHT CEILING|rceil}}
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| − | {{CharCode|8970|230A|-|LEFT FLOOR|lfloor}}
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| − | {{CharCode|8971|230B|-|RIGHT FLOOR|rfloor}}
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| − | ==脚注==
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| − | {{脚注ヘルプ}}
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| − | {{reflist}}
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| − | == 参考文献 ==
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| − | *{{Citation|last=Iverson|first=Kenneth E.|authorlink=ケネス・アイバーソン|title=A Programming Language|language=English|publisher=Wiley|year=1962|isbn=0-471-43014-5|oclc=523128}}
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| − | *{{Citation|last=Gauss|first=Carl Friedrich|author-link=カール・フリードリヒ・ガウス|year=1808|title=Theorematis arithmetici demonstratio nova|publisher=Commentations societatis regiae scientiarum Gottingensis|volume=16|pages=5-8|language=Latin|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN23599524X|LOG_0006&physid=PHYS_0009}}
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| − | *{{Cite book|和書|author=J.C.F.ガウス|authorlink=カール・フリードリヒ・ガウス|others=[[高瀬正仁]] 訳|date=2012-07-10|title=ガウス 数論論文集|series=ちくま学芸文庫|publisher=[[筑摩書房]]|isbn=978-4-480-09474-2|ref={{Harvid|ガウス|2012}}}}
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| − | == 外部リンク ==
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| − | *{{高校数学の美しい物語|title=ガウス記号の定義と３つの性質|urlname=kirisute}}
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| − | *{{Kotobank|階段関数|2=ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典}}
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| − | *{{MathWorld|title=Floor Function|urlname=FloorFunction}}
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| − | *{{MathWorld|title=Ceiling Function|urlname=CeilingFunction}}
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| − | {{DEFAULTSORT:ゆかかんすう}}
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| − | [[Category:特殊関数]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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