存在記号
テンプレート:記号文字 存在記号（そんざいきごう、existential quantifier）とは、数理論理学（特に述語論理）において、少なくとも1つのメンバーが述語の特性や関係を満たすことを表す記号である。通常「∃」と表記され、存在量化子（そんざいりょうかし）、存在限量子（そんざいげんりょうし）、存在限定子（そんざいげんていし）などとも呼ばれる。
これとは対照的に全称記号は、何かが常に真であることを示す。
概要
自然数の平方（二乗）が25であるときだけ真となる式を書きたいとしよう。最も素朴なやり方は次のように次々と式を書いていく:
- 0·0 = 25, または 1·1 = 25, または 2·2 = 25, または 3·3 = 25, などなど
これは 「または」を繰り返しているので、一種の論理和となっている。しかし、「などなど」があるため形式論理の論理和とは言えない。この代わりに以下のような文を書くとしよう:
- ある自然数 n について、 n·n = 25 である。
これは存在量化（existential quantification）を表した文である。
この文はその上の書き方よりも正確である点に注意されたい。「などなど」という語句は全ての自然数を指しているのは明らかと思われるが、それが明確に述べられていない。そのため、これを形式的表現に変換できないのである。一方、後者の量化された文では自然数について明確に言及している。
この例は真である。5 は自然数であり、5 を n に「代入」すると "5·5 = 25" となり、真となる。"n·n = 25" がほとんどの自然数 n で偽となることは問題ではない。存在量化で真となるには少なくとも1つの解が存在すれば十分である。
一方、「ある偶数 n について、n·n = 25 である」という文は、偶数の解が存在しないため偽となる。また、「ある奇数 n について、n·n = 25 である」という文は、5 が奇数であるため真となる。これらは変数nが取りうる値の範囲を示す「議論領域; domain of discourse」が重要であることを示している。何らかの述語を満たす値だけを議論領域としたい場合、存在量化では論理積を使用すればよい。例えば、「ある奇数 n について、n·n = 25 である」という文は「ある自然数 n について、nは奇数であり、かつ n·n = 25 である」という文と論理的に等価である。この場合「かつ」という語句で論理積を表している。
数理論理学で存在量化を表す存在記号は "∃"（サンセリフ体の "E" を裏返した字）で表される。従って、P(a, b, c) が "a·b = c" を表す述語で、N が自然数の集合であるとすると、
- [math] \exists{n}{\in}\mathbf{N}\, P(n,n,25) [/math]
という論理式が以下の文（真）を表すことになる。
- ある自然数 n について、 n·n = 25 である。
同様に、Q(n) が 「nは偶数である」を表す述語とすると
- [math] \exists{n}{\in}\mathbf{N}\, \big(Q(n)\;\!\;\! {\wedge}\;\!\;\! P(n,n,25)\big) [/math]
という論理式が以下の文（偽）を表すことになる。
- ある偶数 n について、n·n = 25 である。
存在記号の各種記号法は全称記号の項目にある。
符号位置
| 記号 | Unicode | JIS X 0213 | 文字参照 | 名称 |
|---|---|---|---|---|
| ∃ | U+2203 |
1-2-48 |
∃∃∃ |
存在限定子 |
関連項目
参考文献
- Hinman, P. (2005年). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-568-81262-0.