多重線型形式

数学、より具体的には抽象代数学と多重線型代数において、多重線型形式（たじゅうせんけいけいしき、英: multilinear form）とは、 $V$ を体 $K$ 上のベクトル空間として、その $n$ 個の変数の各一つずつにおいて線型であるような写像

[math]f\colon V^n \to K [/math]

のことである^[1]。

$n = 2$ , すなわち変数が2つだけのときは、 $f$ を双線型形式と呼ぶ。

重要なタイプの多重線型形式は、交代多重線型形式 (alternating multilinear form) であり、これは2つの引数が同じときに消える

[math]f(\dots,x,\dots,x,\dots) = 0[/math]

という追加の性質を持つものである。これらの特別な場合は行列式形式と微分形式である。 $K$ の標数が $2$ でないとき、交代性は反対称性、すなわち2つの引数を交換したときに符号が変わることと同値である：

[math]f(\dots,x,\dots,y,\dots) = -f(\dots,y,\dots,x,\dots). [/math]

（標数が $2$ のときは多重線型形式が反対称であっても交代であるとは限らない。）

参考文献

↑ Weisstein, Eric W. “Multilinear Form”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。