収縮写像

収縮写像（英: Contraction mapping）とは、距離空間 (M,d) における M からM への関数 f であり、M における全ての x と y について以下の条件を満たす[math]0 \lt k \lt 1[/math] の実数が存在する:

[math]d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y).[/math]

より一般化に、収縮写像の考え方は2つの距離空間の間の写像と定義することもできる。つまり、2つの距離空間 (M,d) と (N,g) があるとき、[math]f:M\rightarrow N[/math] という写像が考えられ、M のあらゆる x と y について [math]g(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)[/math] となるような定数 k が存在する。このような写像をリプシッツ関数という。 そのような k の最小値を f のリプシッツ定数（Lipschitz constant）という。上記条件が [math]0 \lt k \leq 1[/math] で満足される場合、その写像は「非拡大的（non-expansive）」である。

全ての収縮写像はリプシッツ連続であり、一様連続である。

収縮写像には高々1つの不動点が存在する。バナッハの不動点定理によれば、空でない完備距離空間における収縮写像には唯一の不動点があり、M 内の任意の x について反復関数列 x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... はその不動点に収束する。この性質は収縮写像がよく使われる反復関数系で利用される。バナッハの不動点定理は常微分方程式に解があることを証明する場合にも使われる（ピカールの逐次近似法）。

参考文献

• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7 入門的解説
• Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5
• William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2

関連項目

• バナッハの不動点定理