半直積

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群論において、群の半直積（はんちょくせき、英: semidirect product）とは、ふたつの群から新たな群を作り出す方法の一種。 群の直積の一般化であり、通常の直積をその特別な場合として含む。

定義

内部半直積

ふたつの群 N, H に対して N の H による内部半直積とは、次の性質を満たす群 G のことで、 G = N ⋊ H と表す[1]。

  • N は群 G の正規部分群かつ H は群 G の部分群であって、G = NH を満たす
  • N と H は自明な共通部分をもつ：N ∩ H = 1

G を群とし、H をその部分群、N を正規部分群 (N ◁ G) とすると、以下は同値である。

  • G = NH かつ N ∩ H = 1.
  • G のすべての元は積 nh (n ∈ N, h ∈ H) として一意的に書ける。
  • G のすべての元は積 hn (h ∈ H, n ∈ N) として一意的に書ける。
  • 自然な埋め込み H → G を自然な射影 G → G / N と合成すると、H と商群 G / N の間の同型写像となる。
  • H 上恒等写像で核が N の群準同型 G → H が存在する。

外部半直積

G を正規部分群 N と部分群 H の（内部）半直積であるとする。Aut(N) を N のすべての自己同型からなる群とする。次で定義される写像 φ: H → Aut(N) は群準同型である。φ(h) = φh, ただしすべての h ∈ H と n ∈ N に対し、φh(n) = hnh−1．（N は G の正規部分群であるから hnh−1∈N であることに注意。）N, H, φ の三つ組は以下で示すように G を同型の違いを除いて決定する。

2つの群 N と H（与えられた群の部分群である必要はない）と群準同型 φ: H → Aut(N) が与えられると、次のように定義される、φ に関する N と H の（外部）半直積と呼ばれる新しい群 [math]N\rtimes_{\varphi}H[/math] を構成することができる[2][3]。

  • 集合としては、[math]N\rtimes_{\varphi}H[/math] はデカルト積 N × H である。
  • [math]N\rtimes_{\varphi}H[/math] の元の乗法は、準同型 [math]\varphi[/math] によって決定される。演算は n1, n2 ∈ N と h1, h2 ∈ H に対して
[math](n_1, h_1)*(n_2, h_2) = (n_1\varphi_{h_1}(n_2), h_1h_2)[/math]
によって定義される
[math]*\colon (N\times H)\times(N\times H)\to N\rtimes_{\varphi} H[/math]
である。

これは群を定め、単位元は (1N, 1H) で、(n, h) の逆元は (φh−1(n−1), h−1) である。対 (n, 1H) 全体は N と同型な正規部分群をなし、対 (1N, h) 全体は H に同型な部分群をなす。群全体はこれら2つの部分群の内部半直積になっている。

逆に、群 G と正規部分群 N と部分群 H が与えられていて、G のすべての元 g が一意的に g = nh, ただし n ∈ N, h ∈ H, の形に書けるとしよう。φ : H → Aut(N) を φ(h) = φh、ただしすべての n ∈ N,h ∈ H に対して

[math]\varphi_h(n) = hnh^{-1},[/math]

によって与えられる準同型とする。すると G は半直積 [math]N\rtimes_{\varphi}H[/math] に同型である。同型写像は積 nh を対 (n,h) に送る。G において次が成り立ち

[math](n_1h_1)(n_2h_2) = n_1 h_1 n_2 h_1^{-1}h_1h_2 = (n_1\varphi_{h_1}(n_2))(h_1h_2)[/math]

これは上の写像が確かに同型であることを示しておりまた [math]N\rtimes_{\varphi}H[/math] の乗法の規則の定義の説明もしている。

直積は半直積の特別な場合である。これを見るためには、φ を自明な準同型、すなわち H のすべての元を N の恒等自己同型に送るものとしよう。すると [math]N\rtimes_{\varphi}H[/math] は直積 [math] N \times H[/math] である。

ホモロジー代数的定義

群 N の 群 H による半直積とは、分裂する短完全列

[math] 1 \to N \to G \to H \to 1 [/math]

を持つような群 G のことである[4][5]。ここで、短完全列が分裂するとは切断 s : H → G が存在することである。（つまり半直積 G とは群 N の群 H による群の拡大のなかで「もっとも単純なもの」である。）

導入

定義は直観的にやや分かりにくく、奇妙に見えるかもしれないが、分かりやすい例として、n次元ユークリッド空間におけるアフィン変換群 をあげることができる。n 次元アフィン変換

[math](A,b)\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n;\; (A,b)x = Ax + b[/math]

は n 次元一般線型変換 [math]A \in \mathit{GL}(n, \mathbb{R}) [/math] と n次元の並進変換 [math]b \in \mathbb{R}^n [/math] を合成したものであり、この変換の全体は群を成し、これを [math]\operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n)[/math] で表し、n 次元アフィン変換群と呼ぶ。2つのアフィン変換 [math](A_1, b_1)[/math] と [math](A_2, b_2)[/math] の合成変換を考えると、

[math](A_1, b_1)(A_2, b_2)x = (A_1, b_1) (A_2 x + b_2) = A_1 A_2 x + A_1 b_2 + b_1[/math]

である。従って、アフィン変換群 [math]\operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n)[/math] の群演算は、

[math](A_1, b_1)(A_2, b_2) = (A_1 A_2, A_1 b_2 + b_1)[/math]

となり、[math]\mathit{GL}(n, \mathbb{R})[/math] と [math]\mathbb{R}^n [/math] の単純な直積群ではないことが分かる。しかし [math]\mathit{GL}(n, \mathbb{R})[/math] と [math]\mathbb{R}^n [/math] は共に [math]\operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n)[/math] の部分群を成し、とくに [math]\mathbb{R}^n [/math] は正規部分群になる。 このような関係をさらに一般化したものが半直積である[6]。

例

直積

直積群は半直積群でもある。

二面体群

位数 2n の二面体群 D2n は位数 n の巡回的正規部分群 Cn の位数 2 の巡回群 C2 による半直積である[7]。

[math] D_{2n} = \langle\, r, s \mid r^n = s^2 = 1,~s^{-1}rs = r^{-1} \,\rangle [/math]
[math] C_n := \langle r \rangle,~C_2 := \langle s \rangle,~D_{2n} = C_n \rtimes C_2 [/math]

標準ボレル部分群

一般線型群の上三角行列からなる部分群 B を取る。 U を対角成分がすべて 1 からなる群 B の部分群とし、 T を対角行列からなる群 B の部分群とする。このとき次が成り立つ[8]。

[math] B = U \rtimes T[/math]

アフィン変換群

正則アフィン変換からなる群 GA(V) = V ⋊ GL(V) も半直積の例である。

半直積で表せない例

位数 8 の四元数群 Q8 = 〈 i, j, k | i2 = j2 = k2 = ijk 〉 は自身より小さなふたつの群の半直積で表すことはできない[5]。

性質

位数

位数はそれぞれの積である。

[math] \vert N \rtimes H \vert = \vert N \vert \vert H \vert [/math]

埋め込み

もとの群は半直積群に埋め込まれる。 つまり、ふたつの単射準同型写像 N → N ⋊ H と H → N ⋊ H がある。 さらに N の単射準同型像は N ⋊ H の正規部分群で、その剰余群は H と同型である。

異なる作用における同型

一般に、ふたつの異なる群作用 φ, ψ : H → Aut(N) が非同型な半直積群を定めるとは限らない[9]。 もし H が巡回群で作用 φ, ψ が単射かつ φ(H) = ψ(H) を満たすならば N ⋊φ H ≅ N ⋊ψ H である[10]。

関連項目

脚注

  1. ↑ Alperin & Bell 1995, p. 20.
  2. ↑ (2003) An Introduction to Abstract Algebra. Walter de Gruyter, 75–76. ISBN 9783110175448. 
  3. ↑ Alperin & Bell 1995, p. 22.
  4. ↑ Rotman 2008, p. 500.
  5. ↑ 5.0 5.1 Alperin & Bell 1995, p. 26.
  6. ↑ 小林俊夫・大島利雄　『Lie群とLie環 1』、岩波書店、1999年、pp6-8。
  7. ↑ Alperin & Bell 1995, Proposition 2.13.
  8. ↑ Alperin & Bell 1995, Proposition 5.1.
  9. ↑ Alperin & Bell 1995, p. 23.
  10. ↑ Alperin & Bell 1995, Proposition 2.11.
  11. ↑ Alperin & Bell 1995, p. 81.

参考文献



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