分散関係

分散関係（ぶんさんかんけい、英: dispersion relation）は、波において、角周波数（角振動数）と波数の間の関係。特に角周波数 ω を波数 k の関数で表した式のことを言う。量子力学においては、波動関数の波数は粒子の運動量に、周波数はエネルギーに相当するので、運動量とエネルギーの間の関係式を粒子の分散関係と呼ぶことも多い。

概要

フーリエ変換により、波動は特定の波数 k のみを持つ、単色波 e^{i(kx − ωt)} の集まりに分解することができる。このとき、波数 k と角周波数 ω が、系の性質に応じて満たす関係

[math] \omega =\omega(k) \, [/math]

を、分散関係 (dispersion relation)、または分散式 (dispersion formula) という。波数と角周波数の対応関係が複数存在する場合もあり、それぞれの関係を波のモードと呼ぶことがある。

分散関係が与えられると、波動の性質を示すいくつかの重要な指標を導くことができる。

分散がある・ない

波数と角周波数が比例関係

[math]\omega =vk \, [/math]

で表されるときに、分散がないという。また、波数と角周波数が比例関係にない場合、系は分散的もしくは分散系であるという。分散がない波においては、

[math]e^{i(kx-\omega t)}=e^{ik(x- vt)} \,[/math]

となり、各単色波の成分は波数に依らず、一定速度 v で進むため、波形が崩れず、そのまま伝播する。

位相速度と群速度

波の位相部分が一定 kx − ωt = φ_o で伝わる速度 v_p は、これを時間で微分して、

[math] v_\mathrm{p} = \frac{dx}{dt} = \frac{\omega}{k} [/math]

で与えられる。これを位相速度という。また、一方で様々な波数を持つ波の集まりである波束において、その群速度は、

[math] v_\mathrm{g} = \frac{d \omega(k)}{dk} [/math]

で与えられる。

分散がない場合には、

[math]v_\mathrm{p} = v, \quad v_\mathrm{g} = v \,[/math]

であるから、「分散がない」という条件は「位相速度と群速度が一致する」ことと等価である。

通常の波動方程式

[math]\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/math]

に従う波動現象においては、e^{i(kx − ωt)} を考えると、

[math]\omega =c k \,[/math]

の関係が満たされており、分散がない波となる。

光学における分散

"「分散 (光学)」"

自然光などの白色光をプリズムに通すと、透過した光は虹のように各色ごとに分光される。この現象は光学においては分散と呼ばれる。これは、白色光が角振動数の異なる電磁場から構成されており、媒質となるプリズム中においてそれぞれの屈折率 n が角振動数 ω によって異なることに起因する。このとき、媒質中を伝播する電磁波の位相速度は、角振動数に依存する屈折率 n(ω) と真空中の光速 c を用いて、

[math] c(\omega)= \frac{c}{n(\omega)} \,[/math]

と表される。このとき、対応する分散関係は

[math] \omega= c(\omega)k \,[/math]

となる。分散関係という語は、光学におけるこの分散現象に由来する。

例

水面波

深さが h である水の層において、重力と表面張力を考慮した水面波の分散関係は以下を満たす。

[math]\omega=|k| \sqrt{ \biggl ( \frac{g}{k}+ \frac{\sigma k}{\rho} \biggr) \tanh{kh} }[/math]

ここで、g は重力加速度、σ は表面張力の強さ、ρ は水の密度である。

フォノン

固体におけるフォノンのモデルとして、2 種類の原子から構成される一次元の格子の振動を考える。このとき、この格子系の周期を 2a とし、2つの原子の質量を m₁, m₂、結合の定数を f とすると、分散関係は

[math] \omega^2= \frac{f}{m_\mu} \left ( 1 \pm \sqrt{1-\frac{4m_\mu^{\, 2}}{m_1m_2} \sin^2{ka} } \right ), \quad \frac{1}{m_\mu}=\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} [/math]

となる。符号が − の場合が音響モードに対応し、+ の場合が光学モードに相当する。特に テンプレート:Mabs → 0 としたときの長波長極限において、音響モードでは、

[math] \omega = \sqrt{ \frac{2f}{m_1+m_2}} a|k| [/math]

光学モードでは

[math] \omega = \sqrt{ \frac{2f}{m_\mu}} = \sqrt{ \frac{2(m_1+m_2)f}{m_1m_2} } [/math]

となる。

相対論的な電子

相対論な場の量子論において、電子はディラック方程式で記述される。このとき、電子は以下の分散関係を満たす。

[math] \omega= \sqrt{(ck)^2+\biggl ( \frac{mc^2}{\hbar} \biggr)^2} [/math]

ここで、m は電子質量、c は光速である。

参考文献

• 文部省・日本物理学会編 『学術用語集 物理学編』 培風館、1990。ISBN 4-563-02195-4。
• 巽, 友正 『流体力学』 培風館〈新物理学シリーズ 21〉、1995。ISBN 978-4563024215。
• (1976) Solid State Physics. Thomson Learning. 
  • 『固体物理の基礎 (下・1) 固体フォノンの諸問題』 松原, 武生（訳）、町田, 一成（訳）、吉岡書店〈物理学叢書 48〉、1982。ISBN 978-4842702025。
• 西島, 和彦 『相対論的量子力学』 培風館〈新物理学シリーズ 13〉、1973。ISBN 978-4563024130。

関連項目

• フーリエ変換
• 波動
• 位相速度
• 群速度
• 分散
• 分光
• 光学
• 固体物理学
• 流体力学