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| − | {{出典の明記|date=2015年10月}}
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| | [[Image:Cone.jpg|thumb|240px|円錐]] | | [[Image:Cone.jpg|thumb|240px|円錐]] |
| − | '''円錐'''（えんすい、{{lang-en-short|cone}}）とは、[[円 (数学)|円]]を底面として持つ{{読み仮名|錐|きり}}状にとがった立体のことである。 | + | '''円錐'''（えんすい、{{lang-en-short|cone}}） |
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| − | == 定義 ==
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| − | 三次元[[ユークリッド空間|空間]]内の[[直線]] ''l'' と ''l'' 上の点 ''p'' を固定する。点 ''p'' を通り、直線 ''l'' に[[平行]]でも[[垂直]]でもない直線を回転の軸として ''l'' を回転させて得られる[[曲面]]（[[回転面]]）を'''円錐面'''という。
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| − | さらに回転軸に[[直交]]する[[平面]] ''P'' をとり、円錐面と ''P'' とで囲む[[有界]]で中身の詰まった立体図形を'''直円錐'''あるいは単に'''円錐'''という。
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| − | このとき、点 ''p'' をこの円錐の'''頂点'''、頂点と底面との距離をこの円錐の'''高さ'''といい、直線 ''l'' （と円錐との共通部分）をこの円錐の'''[[母線 (数学)|母線]]'''という。また、円錐と平面 ''P'' との共通部分をこの円錐の'''底面'''といい、そうでない面を'''側面'''という。底面は回転軸と平面 ''P'' との交点を中心とするような円になる。また、円錐の[[展開図]]を書くと、側面は[[扇形]]である。この扇形の[[半径]]となるような[[線分]]も母線と呼ばれ、この扇形の[[中心角]]は円錐の'''頂角'''と呼ばれる。
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| − | == 性質 ==
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| − | * 円錐は、[[錐体]]の一種である。
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| − | * 高さを ''h''、母線の長さを ''c''、底面の半径を ''r''、底面積を ''B'' (= π ''r''<sup>2</sup>)、底面の周を ''b'' (= 2 π ''r'')、 と置けば、円錐の側面積 ''S''<sub>side</sub>、表面積 ''S''、[[体積]] ''V'' はそれぞれ以下で与えられる<ref>「4次元以上の空間が見える」小笠英志 ベレ出版 ISBN 978-4860641184のPP.178-185に、錐の体積＝（1/3）×底面積×高さの公式の1/3はどうして1/3になるのかについての小学生も納得できる説明が載っている
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| − | </ref>：
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| − | *: <math> S_\mathrm{side} = \pi r c = \pi c \sqrt{c^2 - h^2 } = \frac{1}{2} b c </math>
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| − | *: <math> S = S_\mathrm{side} + B = \pi r (r + c) = \frac{1}{2} b (r + c) \,</math>
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| − | *: <math> V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (c^2 - h^2) h = \frac{1}{3} B h </math>
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| − | == 標準化 ==
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| − | 円錐面は、適当な[[直交変換]]を行うことにより、次の[[陰関数]]に帰着される。
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| − | : <math>aX^2+bY^2-cZ^2=0</math>
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| − | 式の形から、円錐面は[[二次曲面]]の一種であることがわかる。また定義から直接に、円錐面は次の関数に[[媒介変数表示]]できる。
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| − | :<math>
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| − | \begin{cases}
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| − | X=a\cos(st) \\
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| − | Y=b\sin(st) \\
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| − | Z=ct
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| − | \end{cases}
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| − | </math>
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| − | == 円錐曲線 ==
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| − | 円錐面を平面で切断したとき、その断面として現れる[[曲線]]を総称して[[円錐曲線]]という。[[解析幾何学]]においてはこれが二次曲線と同値であることが示される。
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| − | == 一般化 ==
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| − | 一般に、ある平面 ''P'' 上の円 ''O'' と平面 ''P'' 上にない点 ''p'' が与えられたとき、''O'' の円周上の点と ''p'' とを結んだ[[線分]]の軌跡および円 ''O'' で囲まれる立体を'''斜円錐'''あるいは単に円錐という。また、円 ''O'' をこの斜円錐の'''底面'''、点 ''p'' をこの斜円錐の'''頂点'''という。
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| − | 底面でない面を側面、頂点と底面との距離を高さと呼ぶのは直円錐と同じである。
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| − | なお、斜円錐の頂点 ''p'' から平面 ''P'' に下ろした垂線の足が円 ''O'' の中心に一致するならば、この斜円錐は直円錐である。
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| − | また、直円錐は直線を交わる直線を軸にして得られた回転体であったが、仮に直線をそれに平行な直線を軸にして回転させると[[柱体|直柱体]]になり、"ねじれの位置" にある直線を軸にして回転させると回転双曲面になる。
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| − | == 脚注 ==
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| − | {{脚注ヘルプ}}
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| − | {{Reflist}}
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| − | == 関連項目 ==
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| − | {{Commonscat|Cone (geometry)}}
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| − | [[ファイル:Mayon.jpg|thumb|[[フィリピン]]にある[[マヨン山]]（ルソン富士）。成層火山の一例。]]
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| − | * [[回転体]]
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| − | * [[柱体]]
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| − | * [[双円錐]]
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| − | * [[成層火山]]
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| | + | 平面上の円を <i>C</i> とし，<i>C</i> に囲まれた平面の部分を <i>S</i> とする。この <i>C</i> 上のすべての点と，平面上にない点Pとを結ぶすべての直線によってつくられる曲面を円錐面という。 <i>C</i> が円でなく任意の曲線であれば，曲面は単に錐面という。円錐とは，円錐面と <i>S</i> とで囲まれた立体をいう。Pを頂点，<i>S</i> を底面と呼ぶ。もし，円 <i>C</i> の中心とPとを結ぶ直線が，<i>S</i> に垂直ならば，この円錐を直円錐といい，垂直でなければ斜円錐という。 |
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| | {{多面体}} | | {{多面体}} |
| − | | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| | {{DEFAULTSORT:えんすい}} | | {{DEFAULTSORT:えんすい}} |
| | [[Category:回転体]] | | [[Category:回転体]] |
