円柱 (数学)

円柱

数学において円柱（えんちゅう、英: cylinder）とは二次曲面（三次元空間内の曲面）の一種で、デカルト座標によって次の方程式で定義されるものである：

[math]\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1[/math]

この方程式は楕円柱を表し、a = b のときのみを円柱（あるいは正円柱）とよぶこともある。円柱は、少なくとも 1 つの座標（この場合 z）が方程式に現れないので退化二次曲面の一種である。定義の仕方によっては円柱は全く二次曲面とは考えられない。

一般の用法で円柱は、上記の意味での正円柱を有限の長さで切断し、両端が二つの円板によって閉じられているような図形を意味する。もしこの意味での円柱が半径 r と長さ（あるいは高さ）h を持つならば、その体積 V と表面積 S は

[math]V = \pi r^2 h \,[/math]

[math]S = 2 \pi r ( r + h ) \,[/math]

によって与えられる。

体積が 1 つ与えられたとき、表面積が最小となる円柱（または、表面積が 1 つ与えられたとき、体積が最大となる円柱）では h = 2r という関係が成り立つ。これは半径 r の球に外接する円柱であり、球と円柱の体積の比と表面積の比がどちらも 2:3 となる。

さらに幾つかの特異な種類の円柱の仲間が存在する。

虚楕円柱面： [math]\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = -1[/math]
双曲柱面： [math]\left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1[/math]
放物柱面： [math]x^2 + 2y = 0[/math]

関連項目