円板
各種幾何学における円板（えんばん、英: disk; disc と綴ることもある）は、平面上で円で囲まれた有界領域である。
円板はその境界となる円周を「すべて含む」または「全く含まない」ことを以ってそれぞれ「閉円板」または「開円板」という。
初等幾何学
直交座標系では、点 (a, b) ∈ R2 を中心とする半径 R > 0 の開円板は
- [math]D=D((a,b);R)=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 \lt R^2\}[/math]
で、同じ中心と半径を持つ閉円板は
- [math]\overline{D}=\overline{D}((a,b);R)=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 \le R^2\}[/math]
で表される。
ユークリッド幾何学における円板は、回転対称である。
半径 R の（開または閉）円板の面積は、πR2 である（境界上の点の有無は面積に影響しない。円の面積も参照）。
定義
前節で述べたものは、ユークリッド平面 (R2, d) の通常の（ユークリッド）距離 d に関する開円板
- [math]D(P;r)=\{Q \in \mathbb{R}^2: d_2(P,Q) \lt r\}[/math]
と閉円板
- [math]\overline{D}(P;r)=\{Q\in \mathbb{R}^2 : d_2(P,Q) \le r\}[/math]
であり、これは R2 を任意の距離空間 (X, d) で置き換えてもそのまま通用する。
一般の距離空間における距離に関して円板を考えたものは、一般に球体 (ball) と呼ばれるものを定める（たとえば、三次元ユークリッド空間 (R3, d) における円板は通常の意味における（狭義の）球体である）。即ち、この文脈において「円板」と言う代わりに「球体」を用いても同じ意味になる。
位相的円板
位相空間としての開円板と閉円板は同相でない（後者はコンパクトだが、前者はそうでない）。しかし代数的位相幾何学的な観点からは、これらは多くの性質が共通している。例えば両者とも可縮であり、ゆえ一点にホモトピー同値である。従ってさらに、これらの基本群は自明であり、Z と同型な零次を除いて、全てのホモロジー群が自明である。一点のオイラー標数は 1 であるから、開および閉円板のそれもやはりともに 1 であることがわかる。
閉円板からそれ自身への任意の連続写像（全単射でなくてもよく、また全射であることすら仮定しない）は少なくとも一つの不動点を持つ（これは、ブラウワーの不動点定理の n = 2 の場合である）。この主張において閉円板であるというところを「開円板」に置き換えることはできない。例えば
- [math]f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)[/math]
は、開単位円板上の任意の点をその点の少し右へ写すから、固定される点は存在しない。