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| − | {{混同|円盤}}
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| − | {{出典の明記|date=2015年10月}}
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| − | [[ファイル:CIRCLE 1.svg|thumb|円板は、円で区切られた領域である。開円板は境界上の点を全て除いた[[内部 (位相空間論)|内部]]であり、閉円板はその境界上の点を全て含む[[閉包 (位相空間論)|閉包]]である。]]
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| − | 各種[[幾何学]]における'''円板'''（えんばん、{{lang-en-short|disk; disc}} と綴ることもある）は、平面上で[[円 (数学)|円]]で囲まれた[[有界集合|有界]]領域である。
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| − | 円板はその境界となる円周を「すべて含む」または「全く含まない」ことを以ってそれぞれ「'''閉円板'''」または「'''開円板'''」という。
| + | 各種[[幾何学]]における'''円板'''（えんばん、{{lang-en-short|disk; disc}} と綴ることもある）円盤ともいう。円というのは，正確には，周辺の曲線をさすので，それと区別するためには，円の内部の領域のほうを円板という。しかし，日常的には，「円の面積は π<i>r</i> <sup>2</sup> 」のように，「円板」の意味に「円」を使うことも多い。 |
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| − | == 初等幾何学 ==
| + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | [[直交座標系]]では、点 (''a'', ''b'') ∈ '''R'''<sup>2</sup> を中心とする半径 ''R'' > 0 の開円板は
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| − | :<math>D=D((a,b);R)=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 < R^2\}</math>
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| − | で、同じ中心と半径を持つ閉円板は
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| − | :<math>\overline{D}=\overline{D}((a,b);R)=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 \le R^2\}</math>
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| − | で表される。
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| − | ユークリッド幾何学における円板は、[[回転対称]]である。
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| − | 半径 ''R'' の（開または閉）円板の[[面積]]は、{{π}}''R''<sup>2</sup> である（境界上の点の有無は面積に影響しない。{{仮リンク|円の面積|en|Area of a disk}}も参照）。
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| − | == 定義 ==
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| − | 前節で述べたものは、ユークリッド平面 ('''R'''<sup>2</sup>, ''d'') の通常の（ユークリッド）距離 ''d'' に関する開円板
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| − | :<math>D(P;r)=\{Q \in \mathbb{R}^2: d_2(P,Q) < r\}</math>
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| − | と閉円板
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| − | :<math>\overline{D}(P;r)=\{Q\in \mathbb{R}^2 : d_2(P,Q) \le r\}</math>
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| − | であり、これは '''R'''<sup>2</sup> を任意の距離空間 (''X'', ''d'') で置き換えてもそのまま通用する。
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| − | 一般の[[距離空間]]における距離に関して円板を考えたものは、一般に[[球体]] (''ball'') と呼ばれるものを定める（たとえば、三次元ユークリッド空間 ('''R'''<sup>3</sup>, ''d'') における円板は通常の意味における（狭義の）[[球体]]である）。即ち、この文脈において「円板」と言う代わりに「球体」を用いても同じ意味になる。
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| − | == 位相的円板 ==
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| − | [[位相空間]]としての開円板と閉円板は同相でない（後者は[[コンパクト空間|コンパクト]]だが、前者はそうでない）。しかし[[代数的位相幾何学]]的な観点からは、これらは多くの性質が共通している。例えば両者とも[[可縮]]であり、ゆえ[[一元集合|一点]]に[[ホモトピー同値]]である。従ってさらに、これらの[[基本群]]は自明であり、'''Z''' と同型な零次を除いて、全ての[[ホモロジー群]]が自明である。一点の[[オイラー標数]]は {{math|1}} であるから、開および閉円板のそれもやはりともに {{math|1}} であることがわかる。
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| − | 閉円板からそれ自身への任意の[[連続写像]]（[[全単射]]でなくてもよく、また[[全射]]であることすら仮定しない）は少なくとも一つの[[不動点]]を持つ（これは、[[ブラウワーの不動点定理]]の ''n'' = 2 の場合である）。この主張において閉円板であるというところを「開円板」に置き換えることはできない。例えば
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| − | : <math>f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)</math>
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| − | は、開単位円板上の任意の点をその点の少し右へ写すから、固定される点は存在しない。
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| − | == 関連項目 ==
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| − | * [[単位円板]]
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| − | * {{仮リンク|穴あき円板|en|Punctured disk}} / [[アニュラス|環帯]]
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| − | * [[球体]] - 3次元の円板
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| − | * [[レントイド]] - 両凸レンズ形
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| | {{デフォルトソート:えんはん}} | | {{デフォルトソート:えんはん}} |