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| − | {{Otheruses|[[円周率]]自体の歴史|ペートル・ベックマンの著書|πの歴史}} | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | {{円周率}}
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| − | 本記事は、[[数学定数]]である'''円周率の歴史'''（えんしゅうりつのれきし）について詳述する。
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| − | [[円周率]] {{π}} は[[無理数]]なので、[[小数]]部分は循環せず無限に続く。また、円周率 {{π}} は[[超越数]]なので、その[[連分数]]表示は循環しない。その近似値は何千年にも亘り、世界中で計算されてきた。
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| − | | |
| − | == 凡例 ==
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| − | *'''[学]''' : 数学的事実に関する発見・論争等
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| − | *'''[法]''' : 計算法の考案・改良等
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| − | *'''[値]''' : 計算・値の使用
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| − | *'''[値]'''（桁数）: 計算・値の使用（小数点以下の桁数の記録）
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| − | *'''[文]''' : 文化・社会
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| − | == 年表 ==
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| − | === 級数の発見前 ===
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| − | ;紀元前2000年頃
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| − | :'''[値]''' (2) [[1936年]]に[[スーサ]]で発見された[[粘土板]]などから、[[バビロニア数学|古代バビロニア]]では、[[六角形|正六角形]]の周と円周を比べ、円周率の近似値として {{math|3}}, {{math|3{{sfrac|1|7}} ≒ 3.142857}}, {{math|3{{sfrac|1|8}} {{=}} 3.125}} などが使われたと考えられている<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.35-37, p.338.</ref>。
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| − | ;[[紀元前17世紀|紀元前1650年]]頃
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| − | :'''[学][値]''' [[エジプト数学|古代エジプト]]では、円周と直径の比の値と、円の面積と半径の[[冪乗|平方]]の比の値が等しいことは知られていた。神官[[アハメス]]が書き残した[[リンド・パピルス]]には、[[円積問題]]の古典的な解法の一つが記されており、円の直径からその {{math|{{sfrac|1|9}}}} を引いた長さを一辺とする[[正方形]]の面積と、元の円の面積が等しいとしている。この計算から円周率を計算すると、{{math|{{sfrac|256|81}} ≒ 3.1605}} が円周率の近似値として得られる。かなり精度が高かったものの普及はしなかった。リンド・パピルスはアハメスによって写されたものであり、内容自体はさらに紀元前1800年頃にまで遡ると考えられている<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.38-43. 年代表 (p.338) では前2000年頃としている。</ref>。
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| − | ;[[紀元前5世紀]]頃
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| − | :'''[学]''' [[アナクサゴラス]]が、[[アポロン]]への不敬罪で投獄されている間に、[[円積問題]]に取り組んだ<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.61-62. 年代表(p.338)では前434年頃としている。</ref>。
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| − | :'''[法]''' [[ヘラクレア・ポンティカ|ヘラクレア]]の[[アンティポン|アンティフォン]]は、円に内接する正多角形の面積を求めることにより円周率を計算する方法を編み出した。アンティフォンは、それぞれの正多角形から正方形が作図できることから、円積問題が解決できると主張した<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.62-63. 年代表 (p.338) では前430年頃としている。</ref>。
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| − | :'''[値]''' すぐに、同じヘラクレアのブリソン (Bryson) が、外接する正多角形の面積をも求めて内側と外側の両方から円の面積を評価し近似値を得た。
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| − | ;[[紀元前3世紀]]
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| − | :'''[法][値]''' [[アルキメデス]]は、円の面積が円周率と半径の平方の積に等しいことを証明した<ref>「円の計算」命題一：任意の円は、つぎのような直角三角形――すなわち、その半径が直角を挟（はさ）む一辺に等しく、円の周が底辺に等しいような直角三角形（の面積）に等しい。[[#アルキメデス1972|アルキメデス 1972]], pp.482-483.</ref>。さらに、[[3の平方根]]の最良近似分数 {{math|{{sfrac|265|153}}}} および {{math|{{sfrac|1351|780}}}}（{{math|{{sfrac|265|153}} < }}<math>\sqrt{3}</math>{{math| < {{sfrac|1351|780}}}}）を利用して、円に外接および内接する正6角形、正12角形、正24角形、正48角形、正96角形の辺の長さの[[上界]]および[[下界]]をそれぞれ計算することにより {{math|3 + {{sfrac|10|71}} < π < 3 + {{sfrac|1|7}}}} を求めた<ref>「円の計算」命題三：任意の円の周はその直径の3倍よりも大きく、その超過分は直径の {{math|{{sfrac|1|7}}}} よりは小さく、{{math|{{sfrac|10|71}}}} よりは大きい（{{math|3{{sfrac|10|71}} < π < 3{{sfrac|1|7}}}}）。[[#アルキメデス1972|アルキメデス 1972]], pp.484-487.</ref>。小数だと {{math|3.14084 < π < 3.14286}} である<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.109-114, p.338.</ref>。
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| − | ;[[1世紀]]
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| − | :'''[値]''' [[ローマ帝国]]の著名な建築家[[ウィトルウィウス]]は、{{math|{{sfrac|25|8}}}} を使った。{{math|8}} で割ったほうが建築には便利だったためである。小数だと {{math|3.125}} である<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.100.</ref>。
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| − | ;[[2世紀]]
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| − | :'''[値]''' 天文学者[[クラウディオス・プトレマイオス|プトレマイオス]]は {{math|{{sfrac|377|120}}}} を使った。小数だと約{{math|3.1417}} である<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.126, p.338.</ref>。
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| − | :'''[値]''' [[後漢]]の[[太史令]]だった[[張衡 (科学者)|張衡]]は、円に外接する正方形の周と円周を比べ、円周率を {{math|{{sqrt|10}}}} とした。約{{math|3.162}} になる<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.47, p.338.</ref><ref name="MacTutor-Zhang_Heng">{{MacTutor|id=Zhang_Heng|title=Zhang Heng}}</ref>。
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| − | ;[[3世紀]]
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| − | :'''[値]''' [[呉 (三国)|呉]]の[[王蕃]]は {{math|{{sfrac|142|45}}}} を用いた。約{{math|3.1555}} である<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.338.</ref>。
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| − | ;[[263年]]
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| − | :'''[値]''' (3) [[魏 (三国)|魏]]の[[劉徽]]は『[[九章算術]]』の注釈の中で、ブリソンと同様の方法を用い {{math|3.14 + {{sfrac|64|62500}} < π < 3.14 + {{sfrac|169|62500}}}} であることを示している。小数では {{math|3.14102 4 < π < 3.14270 4}} である。さらに正{{math|3072}}角形を用いて、{{math|3.14159}} という近似値も得た<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.48では264年としている。</ref><ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.338.</ref><ref name="MacTutor-Liu_Hui">{{MacTutor|id=Liu_Hui|title=Liu Hui}}</ref>。
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| − | ;[[5世紀]]
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| − | :'''[値]''' (6) [[7世紀]]に編纂された[[隋書]]律暦志<ref>[[:s:zh:隋書/卷16|隋書律暦志 上]]（ウィキソース中国語版）。</ref>によると、天文学者の[[祖沖之]]（そちゅうし）は、当時としては非常に正確な評価 {{math|3.14159 26 < π < 3.14159 27}} を示した。ヨーロッパでこれほど正確な評価を得るには、[[16世紀]]まで待たねばならない。さらに、分数での近似値 {{math|{{sfrac|22|7}}}}（約{{math|3.143}}）と {{math|{{sfrac|355|113}}}}（約{{math|3.14159 29}}）を与えている<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.48, p.338.</ref><ref name="MacTutor-Zu_Chongzhi">{{MacTutor|id=Zu_Chongzhi|title=Zu Chongzhi}}</ref>。正確な方法は伝わっていないが、九章算術の方法を踏襲したと推測すると、上記の結果を得るには少なくとも円に内接する正{{math|24576}}角形の辺の長さを計算しなければならない。隋書では現代と同じ「圓周率」という語が用いられている。祖沖之の息子の{{Lang|zh|祖暅}}（そこう）は、父とともに球の体積の計算方法を導き出したことで知られる<ref name="MacTutor-Zu_Geng">{{MacTutor|id=Zu_Geng|title=Zu Geng}}</ref>。
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| − | ;[[500年]]頃
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| − | :'''[値]''' インドの[[アリヤバータ]]は、円に内接する正 {{mvar|n}} 角形と正 {{math|2''n''}} 角形の周の長さの間に成り立つ関係式を求め、正{{math|384}}角形の周の長さから {{math|{{sqrt|9.8684}}}} ({{math|≒ 3.14156}}) と求めた。この平方根の近似値として {{math|{{sfrac|3927|1250}}}} ({{math|{{=}} 3.1416}}) を与えた<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.44-45, p.338.</ref>。
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| − | ;[[650年]]頃
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| − | :'''[値]''' インドの[[ブラーマグプタ]]は、正{{math|12}}角形、正{{math|24}}角形、正{{math|48}}角形、正{{math|96}}角形の周の長さから、{{mvar|n}} が大きくなるにつれ正 {{math|3 × 2<sup>''n''</sup>}} 角形の周の長さは {{math|{{sqrt|10}}}} に近づくとし、これを円周率とした<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.45-46, p.338.</ref>。
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| − | [[画像:Fibonacci2.jpg|thumb|right|200px|レオナルド・フィボナッチ（[[ピサのレオナルド]]）]]
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| − | ;[[1220年]]
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| − | :'''[値]''' イタリアの[[レオナルド・フィボナッチ|フィボナッチ]]（[[ピサのレオナルド]]）が円周率を {{sfrac|864|275}} と計算した。これは、約{{math|3.1418}} である<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.143-145, p.338.</ref>。
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| − | | |
| − | === 幾何から解析へ ===
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| − | 「円に内接・外接する多角形に基づく近似」から「級数を利用した近似」への移行は、インドでは1400年頃から1500年代に起き、ヨーロッパでは1600年代、日本では1700年代に起きた。
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| − | | |
| − | ==== 14世紀 ====
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| − | ;[[1400年]]頃
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| − | :インド南西部（現在の[[ケーララ州]]）では、14世紀以降、天文学・数学が花開き、当時の世界最先端の研究が行われた。[[ケーララ学派]]と総称される学者たちは、[[三角関数]]・逆三角関数 (sin, cos, arctan) の[[マクローリン展開]]を天文計算に利用した<ref name="Untapped">{{cite journal
| |
| − | |first1 = C. T.
| |
| − | |last1 = Rajagopal
| |
| − | |first2 = M. S.
| |
| − | |last2 = Rangachari
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| − | |year = 1978
| |
| − | |title = {{lang|en|On an Untapped Source of Medieval Keralese Mathematics}}
| |
| − | |lang = 英語
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| − | |journal = {{lang|en|Archive for History of Exact Sciences}}
| |
| − | |volume = 18
| |
| − | |issue = 2
| |
| − | |pages = 89–102
| |
| − | |url = http://www.springerlink.com/content/mnr38341u762u544
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| − | |separator = ,
| |
| − | }}</ref>。これらの[[級数]]は[[ニーラカンタ]]（{{lang|sa-Latn|Nīlakaṇṭha}}, 1445頃–1545頃）の時代には知られており、ニーラカンタの発見とされることがある<ref name="Roy1990">{{cite journal
| |
| − | |first = Ranjan
| |
| − | |last = Roy
| |
| − | |year = 1990
| |
| − | |title = {{lang|en|The Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha}}| lang=英語
| |
| − | |journal = {{lang|en|Mathematics Magazine}}
| |
| − | |volume = 63
| |
| − | |issue = 5
| |
| − | |pages = 291–306
| |
| − | |url = http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Allendoerfer/1991/0025570x.di021167.02p0073q.pdf
| |
| − | |format = PDF
| |
| − | |separator = ,
| |
| − | }}</ref><ref>{{cite journal
| |
| − | |first = Shailesh A.
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| − | |last = Shirali
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| − | |year = 1997
| |
| − | |title = {{lang|en|Nīlakaṇṭha, Euler and π}}
| |
| − | |lang = 英語
| |
| − | |journal = {{lang|en|Resonance}}
| |
| − | |volume = 2
| |
| − | |number = 5
| |
| − | |doi = 10.1007/BF02838013
| |
| − | |pages = 29–43
| |
| − | |url = http://www.ias.ac.in/resonance/May1997/pdf/May1997p29-43.pdf
| |
| − | |format = PDF
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| − | |separator = ,
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| − | }} [著者は補足として、この級数はマーダバの功績だという説に触れている ([http://www.ias.ac.in/resonance/Nov1997/pdf/Nov1997IA.pdf PDF])。]
| |
| − | </ref>。しかし、ニーラカンタの天文学書『アールヤバティーヤ・バーシャ』<ref name="Bhasya">『アールヤバティーヤ』({{lang|sa-Latn|Āryabhaṭīya}}) は、天文学者[[アールヤバタ]] (476–550) の著作（カタカナで書くとアーリャバタ、アーリャバティーヤだが、日本語ではアールヤバタ、アールヤバティーヤと呼ばれているのでそれに従う）。『アールヤバティーヤ・バーシャ』({{lang|sa-Latn|Āryabhaṭīya-bhāṣya}}) は、約1000年後のニーラカンタが『アールヤバティーヤ』を解説したもの。</ref>によると、sin の展開式は彼より前の時代の学者の業績であるという。その学者とは、サンガマグラーマ（現在のイリンジャラクダ）の[[マーダヴァ]]（{{lang|sa-Latn|Mādhava}}, 1340頃–1415頃, [[マラヤーラム語]]名: マーダバン）である。以下の式も、マーダヴァの発見とされることが多い<ref name="Untapped"/><ref name="MacTutor-Madhava">{{MacTutor|id=Madhava|title=Madhava of Sangamagramma}}</ref>：
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| − | ::<math>\theta =\tan \theta -\frac{\tan^3 \theta}{3} +\frac{\tan^5 \theta}{5} -\frac{\tan^7 \theta}{7} +\cdots</math>
| |
| − | :これは次と同等である:
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| − | ::<math>\arctan x=x-\frac{x^3}{3} +\frac{x^5}{5} -\frac{x^7}{7} +\cdots</math>
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| − | :この級数は、ヨーロッパでは1670年代に[[ジェームズ・グレゴリー]]と[[ゴットフリート・ライプニッツ]]により再発見され、一般的にはグレゴリー級数、[[ライプニッツの公式|ライプニッツ級数]]などと呼ばれる。
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| − | :'''[値]''' (10 ?) 一説に、マーダヴァは上式で {{math|''θ'' {{=}} {{sfrac|{{π}}|6}}}} として得られる
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| − | ::<math>\pi =\sqrt{12} \left( 1-\frac{1}{3\cdot 3^1} +\frac{1}{5\cdot 3^2} -\frac{1}{7\cdot 3^3} +\cdots \right)</math>
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| − | :の21項を計算し、{{math|π ≈ 3.14159 26535 9}} を得た<ref name="MacTutor-Madhava"/>。これは小数点以下10桁目まで正しい（{{small|12桁目を四捨五入した11桁の近似値としては全11桁が正しいが、11桁目「8」は未確定}}）。別の資料によると、彼の近似値は {{math|{{sfrac|2,827,433,388,233|900,000,000,000}}}} で<ref>{{cite journal
| |
| − | |first = A. K.
| |
| − | |last = Bag
| |
| − | |year = 1980
| |
| − | |title = {{lang|en|Indian Literature on Mathematics During 1400–1800 A.D.}}
| |
| − | |lang = 英語
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| − | |journal = {{lang|en|Indian Journal of History of Science}}
| |
| − | |volume = 15
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| − | |issue = 1
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| − | |page = 86
| |
| − | |url = http://www.new.dli.ernet.in/rawdataupload/upload/insa/INSA_1/20005af2_79.pdf
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| − | |format = PDF
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| − | |separator = ,
| |
| − | |archiveurl = https://web.archive.org/web/20120309124530/http://www.new.dli.ernet.in/rawdataupload/upload/insa/INSA_1/20005af2_79.pdf
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| − | |archivedate = 2012年3月9日
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| − | |deadlinkdate = 2017年9月
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| − | }}</ref>、{{math|3.14159 26535 92222…}} に当たる。マーダヴァが円周率10桁を得たとすると、祖沖之の7桁以来、約1000年ぶりの世界記録更新である。
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| − | ::{{small|上記の級数を30項目まで使えば円周率の15桁が決定でき、42項目まで使えば20桁が決定できる。この他にもケーララ学派は円周率の評価に利用できるいくつもの結果を得ていて、その気になれば比較的簡単に円周率の桁数を伸ばせる立場にあった。実際、R. Gupta は、マーダヴァが約17桁まで計算したと予想している<ref>{{citation
| |
| − | |first = Ian
| |
| − | |last = Pearce
| |
| − | |year = 2002
| |
| − | |title = {{lang|en|Madhava of Sangamagramma}}
| |
| − | |work = {{lang|en|Indian Mathematics: Redressing the balance}}
| |
| − | |url = http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html
| |
| − | |accessdate = 2012-09-21
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| − | |separator = ,
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| − | }}</ref>。しかし、記録は見つかっておらず、現時点では想像の域を出ない。}}
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| − | :'''[法]''' ケーララ学派による円周率の近似は級数に基づくもので、[[剰余項]]も考察している。他地域ではこの200年後（ニーラカンタから数えても100年後）にまだ正多角形の外周に基づく計算をしていることを考えると、極めて先進的だった。円周率の計算法として新しいというだけでなく、無限や極限を扱う新しい数学への大きな一歩だった。
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| − | | |
| − | ==== 15世紀 ====
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| − | ;[[1424年]]
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| − | :'''[値]''' (16) ペルシャの天文学者・数学者ジャムシード・カーシャーニー（アラビア語名: [[アル・カーシー]]）は、当時使われていた円周率の近似値の不正確さに不満を抱き、天文計算に必要十分な精度で円周と半径の比を決定したいと考えた。1424年の『円周論』<ref>
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| − | {{lang|ar|الرسالة المحيطية}} {{lang|ar-Latn|ar-risālah al-muḥīṭiyyah}} — {{lang|ar-Latn|ar-}} は {{lang|ar-Latn|al-}} とも書かれ、{{lang|ar-Latn|iyy}} は {{lang|ar-Latn|īy}} または {{lang|ar-Latn|īyy}} とも書かれる。語末の {{lang|ar-Latn|h}} は表記しないことがある。
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| − | </ref>において、彼はアルキメデスの方法を拡張して正{{math|805,306,368}} ({{math|{{=}} 3 × 2<sup>28</sup>}}) 角形を用いる計算を行い<ref>{{cite journal
| |
| − | |first1 = {{lang|en|Mohammad K.}}
| |
| − | |last1 = {{lang|en|Azarian}}
| |
| − | |title = {{lang|en|al-Risāla al-muhītīyya: A Summary}}
| |
| − | |journal = {{lang|en|Missouri Journal of Mathematical Sciences}}
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| − | |volume = 22
| |
| − | |issue = 2
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| − | |year = 2010
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| − | |page = 64–85
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| − | |language = 英語
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| − | |url = http://www.xs4all.nl/~nirmala/Azarian2.pdf
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| − | |format = PDF
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| − | |separator = ,
| |
| − | }}</ref>、[[60進数]]による次の評価を得た<ref>{{cite book
| |
| − | |author = {{lang|de|Paul Luckey}}
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| − | |title = {{lang|de|Der Lehrbrief über den Kreisumfang (ar-Risāla al-Muḥīṭīya) von Ǧamšīd b. Masʿūd al-Kāšī}}
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| − | |language = ドイツ語・アラビア語
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| − | |series = {{lang|de|Abhandlungen der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin}}
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| − | |year = 1953
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| − | |url = http://www.jphogendijk.nl/kashi.html
| |
| − | |separator = ,
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| − | }}</ref>:
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| − | ::{{math|6; 16,59,28,1,34,51,46,14,49,46 < 2π < 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,50,15}}
| |
| − | :ここで、{{math|6; 16,59,…}} は {{math|6 + 16/60 + 59/60<sup>2</sup> + …}} を表す（{{small|彼は後に計算を再検討して、下界の末尾の桁を 46 から 45 に改めたという}}<ref name="Hogendijk2009">{{cite journal
| |
| − | |first1 = {{lang|nl|Jan P.}}
| |
| − | |last1 = {{lang|nl|Hogendijk}}
| |
| − | |title = {{lang|en|Al-Kāshī’s Determination of π to 16 Decimals in an Old Manuscript}}
| |
| − | |journal = {{lang|de|Zeitschrift für Geschichte der arabisch-islamischen Wissenschaften}}
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| − | |volume = 18
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| − | |year = 2009
| |
| − | |pages = 73–153
| |
| − | |url = http://www.jphogendijk.nl/publ/KashiZGAIW.pdf
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| − | |format = PDF
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| − | |language = 英語
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| − | |separator = ,
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| − | }}</ref>）。現代的な表記に直せば:
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| − | ::{{math|3.14159 26535 89793 23084… < π < 3.14159 26535 89793 25482…}}
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| − | :彼は近似値 {{math|2π {{=}} 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,50}} を採用し、10進表示 {{math|π {{=}} 3.14159 26535 89793 25}} も与えた<ref>正確には、{{math|5 × 2π}} の近似値 {{math|31.41592…}} を小数第16位まで示した。</ref>。これは小数点以下16桁目まで正しく、末尾の17桁目も真の値に近い。記録に残る当時最良の円周率の近似値であり、この世界記録は1596年にファン・コーレンが小数点以下20桁を示すまで172年間、破られなかった。この業績は、西洋では[[1920年代]]まで知られていなかった<ref name="Hogendijk2009"/>。
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| − | ;[[1500年]]頃
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| − | :'''[学]''' ケーララの天文学者ニーラカンタが、円周率の[[無理数|無理]]性を指摘した。彼の著書『アールヤバティーヤ・バーシャ』<ref name="Bhasya"/>には、こうある<ref name="Roy1990"/>: 「直径が何らかの長さの単位で計測されて、その単位の比として表されるなら、その同じ単位によって円周を同様に計測することはできない。よってまた同様に、円周が何らかの単位で計測可能であるのなら、直径はその同じ単位によっては計測できない。」
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| − | :[[ケーララ学派]]は円周率の級数表示を知っていたため、この認識は自然に生じたのだろう。
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| − | :'''[値]''' (9) ニーラカンタの『タントラ・サングラハ』には、エレガントな分数表示 {{math|π ≈ {{sfrac|104348|33215}}}} が含まれる<ref name="Roy1990"/>。これは {{math2|{{sfrac|22|7}}, {{sfrac|355|113}}}} と同様の最良近似分数（より小さい分子・分母でこれより誤差の少ない近似値は作れない）で、小数点以下9桁目まで正しい。
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| − | ==== 16世紀 ====
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| − | ;[[1503年]]
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| − | :アルキメデスの『円の計測について』と『放物線の面積について』のラテン語訳が、[[ベネチア]]で出版された<ref>{{cite book
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| − | |title = {{lang|la|Tetragonismus idest circuli quadratura}}
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| − | |year = 1503
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| − | |language = ラテン語
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| − | |url = http://mathematica.sns.it/opere/144/
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| − | }}『四角形主義: 円の求積法』</ref>。
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| − | ;[[1543年]]
| |
| − | :[[ニコロ・フォンタナ・タルタリア|タルターリャ]] ({{lang|it|Tartaglia}}) が、アルキメデスの一部の著作のラテン語訳をベネチアで再出版した<ref>{{cite book
| |
| − | |first = {{lang|it|Niccolò}}
| |
| − | |last = {{lang|it|Tartaglia}}
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| − | |title = {{lang|la|Opera Archimedis Syracusani philosophi et mathematici ingeniosissimi}}
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| − | |year = 1543
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| − | |language = ラテン語
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| − | |url = http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuViewfull?mode=imagepath&url=/mpiwg/online/permanent/library/V3WUN5FQ/pageimg&viewMode=images }} 『シラクサの天才哲人数学者アルキメデスの作品集』</ref>。
| |
| − | ;[[1544年]]
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| − | :アルキメデスの著作の原文が、初めてまとめて出版された。出版地は[[バーゼル]]で、ラテン語訳付きだった<ref>{{cite book
| |
| − | |title = {{lang|el|Ἀρχιμήδους του Συρακουσίου, τα μέχρι νῦν σωζόμενα, ἃπαντα.}} {{lang|la|Archimedis Syracusani philosophi ac geometrae excellentissimi opera}}
| |
| − | |year = 1544
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| − | |language = ギリシャ語・ラテン語
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| − | |url = http://archive.org/details/archimedestamech00arch
| |
| − | }} 『[[シラクサ|シュラークーサイ]]の人アルキメーデースの現存する全著作: 卓越した哲人幾何学者の作品集』
| |
| − | </ref>。これによりヨーロッパでは彼の業績が広く知られるようになり、円周率の研究もこれを出発点として本格的に再開された。この時点での西洋の円周率研究は紀元前のアルキメデスの時代からあまり進歩していなかったが、これ以降は急速に発展する。
| |
| − | ;[[1579年]]
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| − | :'''[値]''' (9) [[フランソワ・ビエタ]]が、円に内接・外接する正{{math|393,216}}角形の周の長さから {{math|3.14159 26535 < π < 3.14159 26537}} という評価をした。ビエタはさらに、[[総乗|無限乗積]]
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| − | :<math>x_1 =\sqrt{\frac{1}{2}},\ x_{n+1} =\sqrt{\frac{1+x_n}{2}}</math>
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| − | :<math>\frac{2}{\pi} =\prod_{n=1}^\infty x_n</math>
| |
| − | :を示し {{π}} の計算を試みた<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.157-163.</ref>。
| |
| − | ;[[1585年]]
| |
| − | :'''[値]''' オランダの[[アドリアン・アンソニスゾーン]]が {{math|{{sfrac|333|106}} < π < {{sfrac|377|120}}}} と評価し、両端の平均に近い値として {{math|{{sfrac|355|113}}}} を得た。これは、約{{math|3.14159 292}} である<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.173.</ref>。
| |
| − | ;[[1593年]]
| |
| − | :'''[値]''' (15) [[フランドル]]の[[アドリアーン・ファン・ローメン]]（{{lang|nl|Adriaan van Roomen}}, ラテン語名: ローマヌス）が、『数学的観念序説: 多角形法』の中で {{math|3.14159 26535 89793 05 < π < 3.14159 26535 89793 15}} に当たる評価を与え、{{math|π ≈ 3.14159 26535 89793 1}} とした<ref>{{cite book
| |
| − | |first = {{lang|la|Adrianus}}
| |
| − | |last = {{lang|la|Romanus}}
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| − | |title = {{lang|la|Ideae mathematicae pars prima, sive methodus polygonorum}}
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| − | |year = 1593
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| − | |language = ラテン語
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| − | |url = http://hdl.handle.net/2027/ucm.5320258006
| |
| − | }}</ref>。これは小数点以下15桁目まで正しい。アル・カーシーの世界記録16桁 (1424) にはわずかに及ばなかったが、この時点でヨーロッパ最良の近似値であり、ビエトの結果 (1579) の改良となっている。ただし、円周率の真の値は上記の区間に含まれておらず、厳密な評価ではない。計算は正 {{math|15 × 2<sup>24</sup>}}（= 約2.5億）角形を用いるものだった<ref>
| |
| − | 「円に内接・外接する2億5165万8240角形を考える」とあり[http://hdl.handle.net/2027/ucm.5320258006?urlappend=%3Bseq=16]、15角形を第1段階として辺の数を次々と2倍にして第25段階で結果を得ている[http://hdl.handle.net/2027/ucm.5320258006?urlappend=%3Bseq=87]。
| |
| − | </ref>。彼は21歳年上のファン・コーレンと親交があり、円周率に興味を持ち始めたのは彼の影響らしい<ref name="MacTutor-Roomen">{{MacTutor|id=Roomen|title=Adriaan van Roomen}}</ref>。
| |
| − | ;[[1596年]]
| |
| − | :'''[値]''' (20) [[ルドルフ・ファン・コーレン]]<ref>標準オランダ語では {{lang|nl|''v''}} は有声音なので、{{lang|nl|''van''}} の部分はバン（ヴァン）と表記するべきかもしれない。彼の住んだ地域の方言では（少なくとも現代では）{{lang|nl|''v''}} が無声音として発音されるということから、暫定的にファン・コーレンと表記しておく。</ref>（{{lang|nl|Ludolph van Ceulen}}, ドイツ語読み: ファン・コイレン）が、『円について』で円周率の小数点以下20桁を決定した<ref>{{cite book
| |
| − | |year = 1596
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| − | |author = {{lang|nl|Van Ceulen, Ludolf}}
| |
| − | |title = {{lang|nl|Vanden Circkel [Van den Circkel]}}
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| − | |language = オランダ語
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| − | |url = http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN539965979}} [[http://www.ludolphvanceulen.nl/documents/circkel.pdf 簡易校訂版（PDF）]]
| |
| − | </ref>。ファン・コーレンはまず、正 {{math|5 × 2<sup>25</sup>}}（= 約2億）角形、正 {{math|4 × 2<sup>28</sup>}}（= 約10億）角形、正 {{math|3 × 2<sup>31</sup>}}（= 約60億）角形を用いて、円周率をそれぞれ12桁、16桁、18桁まで求めた。さらに、正 {{math|15 × 2<sup>31</sup>}} ({{math|{{=}} 32,212,254,720}}) 角形に基づき次の評価を与えた:
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| − | ::{{math|3.14159 26535 89793 23845 < π < 3.14159 26535 89793 23847}}
| |
| − | :上界・下界の平均を取って {{math|π ≈ 3.14159 26535 89793 23846}} とすれば、結果的に全20桁が正しい。しかし、ファン・コーレンの態度は厳格で、上記の結果は19桁のみ有効であると正しく指摘した<ref>{{citation
| |
| − | |authors = Deimen, Inga; Hendriks, Maxim; Pronk, Matthijs
| |
| − | |year = 2006
| |
| − | |title={{lang|nl|Van den cirkel, wortels en π}}
| |
| − | |page = 5.
| |
| − | |url = http://www.ludolphvanceulen.nl/documents/C-Pi.pdf
| |
| − | |format = PDF
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| − | |language = オランダ語
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| − | |accessdate = 2012-09-30
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| − | |separator = ,
| |
| − | }} [著者らは20桁目を5または6としているが、実際には7になる可能性もあった。]
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| − | </ref>。最後に彼は {{π}} の20桁を示した:
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| − | ::{{math|3.14159 26535 89793 23846 < π < 3.14159 26535 89793 23847}}
| |
| − | :この計算は、辺の数をさらに2倍にした正 {{math|15 × 2<sup>32</sup>}} ({{math|{{=}} 64,424,509,440}}) 角形に基づく<ref name="Hogendijk2009"/><ref>{{cite journal
| |
| − | |first = {{lang|nl|Steven}}
| |
| − | |last = {{lang|nl|Wepster}}
| |
| − | |title = {{lang|nl|Van Ceulens veelhoeken en veeltermen}}
| |
| − | |journal = {{lang|nl|Nieuwe Wiskrant}}
| |
| − | |year = 2008
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| − | |volume = 28
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| − | |issue = 1
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| − | |page = 46
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| − | |url = http://www.fisme.science.uu.nl/wiskrant/artikelen/281/281september_wepster.pdf
| |
| − | |format = PDF
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| − | |language = オランダ語
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| − | }}</ref><ref>{{citation
| |
| − | |title = {{lang|nl|Van den Ronden Cirkel- Hoofdstuk 11}}
| |
| − | |url = http://www.math.uu.nl/wiskonst/vandencirkel/hoofdstuk11.html
| |
| − | |publisher = [[ユトレヒト大学]]数学学部
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| − | |language = オランダ語
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| − | }}</ref>。ファン・ローメンの15桁の計算 (1593) の改良であり、アル・カーシーの16桁の記録 (1424) を上回る新しい世界記録の達成だった。
| |
| − | :ファン・コーレンは[[ヒルデスハイム]]で生まれ、[[ネーデルラント17州|ホラント]]（現在の[[南ホラント州|オランダ西部]]）に移住した。フェンシングと数学の教師だった。高等教育は受けていなかったが、円積問題や円周率を巡る数学上の論争に巻き込まれ、1590年（50歳）頃から円周率に興味を持ち始めたらしい<ref name="MacTutor-Ludolph">{{MacTutor|id=Van_Ceulen|title=Ludolph Van Ceulen}}</ref>。
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| − | | |
| − | ==== 17世紀 ====
| |
| − | [[画像:Monument_voor_PI.jpg|alt=ルドルフの墓の写真|thumb|right|200px|オランダの[[ライデン]]にあるファン・コーレンの墓（復元後）。彼が得た35桁の上界・下界（末尾桁1違い）が刻まれている。]]
| |
| − | ;[[1610年]]頃
| |
| − | :'''[値]''' (35) ファン・コーレンは、1610年に亡くなるまでのいずれかの時点で、正 {{math|2<sup>62</sup>}}（= 約461京1686兆）角形を使って {{π}} の35桁目までを正しく評価した。この結果は、1621年、弟子の[[ヴィレブロルト・スネル|スネリウス]]の著書『キュクロメトリクス: 円の計測について』<ref>{{cite book
| |
| − | |author = {{lang|la|Snellius, Willebrordus}} ({{lang|nl|Snel, Willebrord}})
| |
| − | |title = {{lang|la|Cyclometricus, De circuli dimensione}}
| |
| − | |year = 1621
| |
| − | |language = ラテン語
| |
| − | }}</ref>で公表されたほか、本人の墓（生前の1602年に購入した記録がある）に刻まれた。墓石は後代に滅失したが、碑文とスケッチは残っており、2000年に復元された<ref name="MacTutor-Ludolph"/>。かつてドイツでは、彼の名に因んで円周率をルドルフ数 ({{lang|de|[[:de:Ludolph_van_Ceulen#Ludolphsche_Zahl|Ludolphsche Zahl]]}}) と呼んだ<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.174, p.339.</ref>。
| |
| − | ;[[1621年]]
| |
| − | :'''[法][値]''' オランダの[[ヴィレブロルト・スネル|ウィレブロルト・スネル]]（ラテン語名: スネリウス）が、円周の長さの評価式を与える。
| |
| − | :<math>\frac{3\sin \theta}{2+\cos \theta} <\theta <\frac{2\sin \theta +\tan \theta}{3}</math>
| |
| − | :この式と円に内接・外接する正 {{math|6}} 角形から {{math|3.14022 < π < 3.14160}} と評価した。この式の証明は[[クリスティアーン・ホイヘンス|ホイヘンス]]によって与えられ、さらにホイヘンスによって改良された結果、[[正六角形]]を用いただけで {{math|3.14159 26533 < π < 3.14159 26538}} と評価できるまでになった<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.146-148,188-190, p.339.</ref>。
| |
| − | :スネリウスはファン・コーレンの弟子だった。彼の方法なら、ファン・コーレンが正 {{math|2<sup>62</sup>}} 角形を使って得た35桁は、{{math|2<sup>30</sup>}} 角形を考えるだけで得られるという。その気になれば、計算記録を更新できる立場だった。しかし、彼は別の分野で活躍しており、すでに35桁あった円周率の有効数字をさらに伸ばすために時間を割くことはしなかった。
| |
| − | ;[[1630年]]
| |
| − | :'''[値]''' (38) オーストリア出身の天文学者・数学者[[クリストフ・グリーンベルガー]]は、スネリウスの手法を用いて円周率の小数点以下39桁目までを計算し、1630年に出版された自著『三角法の基礎』の中で公表した<ref>{{cite book
| |
| − | |author = [[アーネスト・ウィリアム・ホブソン]]
| |
| − | |title = {{lang|en|“Squaring the Circle”: A History of the Problem}}
| |
| − | |language = 英語
| |
| − | |year = 1913
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| − | |page = 27
| |
| − | |publisher = [[ケンブリッジ大学出版局]]
| |
| − | |url = http://archive.org/stream/squaringcirclehi00hobsuoft#page/27/mode/1up
| |
| − | }} [本書では、グリーンベルガーの著作名 {{lang|la|''Elementa Trigonometrica''}} が {{lang|la|''Elementa Trigonometriae''}} と記されている。]</ref>。39桁目は 7 だが、彼はそれを 6 と 9 の間だと正しく評価した<ref>{{cite book
| |
| − | |author = {{lang|la|Grienbergerus, Christophorus}} ({{lang|de|Grienberger, Christoph}})
| |
| − | |title = {{lang|la|Elementa Trigonometrica}}
| |
| − | |year = 1630
| |
| − | |language = ラテン語
| |
| − | }}</ref>。桁数という意味では38桁目まで確定させたことになる。
| |
| − | ;[[1655年]]
| |
| − | :'''[法]''' イギリスの[[ジョン・ウォリス|ウォリス]]は無限乗積
| |
| − | :<math>\frac{\pi}{2} =\prod_{n=1}^\infty \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}</math>
| |
| − | :を示した。ビエタの公式のように根号が無いため計算はしやすいが、収束はとても遅い<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.213-214, p.339.</ref>。
| |
| − | :同じくイギリスの[[ウィリアム・ブラウンカー|ブラウンカー]]が、[[連分数]]を用いた公式
| |
| − | :<math>\frac{4}{\pi} =1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{\cdots}{\cdots +\cfrac{\left(2n-1\right)^2}{2+\cdots}}}}</math>
| |
| − | :を示した<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.216-220, p.339.</ref>。この公式により {{π}} が[[無理数]]であることが分かる。
| |
| − | ;[[1663年]]
| |
| − | :'''[値]''' [[村松茂清]]が『算俎』を著し、円に内接する正 {{math|2<sup>''n''</sup>}} 角形 {{math|(2 ≤ ''n'' ≤ 15)}} の辺の長さから {{math|π ≒ 3.1415 92648 77769 88692 48}} とし、小数点以下7桁まで正しい値を求めた。ファン・コーレンなどの計算には遠く及ばないものの、近似値として単に {{math|3.16}} という値を示すのみであった『[[塵劫記]]』や、中国などを通じて入ってくる算書に頼り切ってきたそれ以前の和算から一歩を踏み出し、日本で初めて数学的な方法で円周率を計算し発表した和算家が村松である。市中で行われる算術に還流することは無かったが、「[[円理]]」という和算の一分野として発展する。
| |
| − | ;[[1665年]]
| |
| − | :'''[学]''' イギリスの[[政治哲学|政治哲学者]]の[[トマス・ホッブズ|ホッブズ]]が[[円積問題]]の解を公表し、[[ジョン・ウォリス|ウォリス]]との間で論争になる。ホッブズは死ぬまで厳密解と近似解の違いを理解できずに論争を続けた<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.216.</ref>。
| |
| − | [[画像:James_Gregory.jpeg|thumb|200px|ジェームス・グレゴリー]]
| |
| − | ;[[1671年]]
| |
| − | :'''[法]''' スコットランドの[[ジェームス・グレゴリー|グレゴリー]]により、[[ジェームス・グレゴリー#グレゴリー級数|グレゴリー級数]]
| |
| − | :<math>\arctan x=\sum_{n=0}^{\infin} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} =x-\frac{1}{3} x^3 +\frac{1}{5} x^5 -\frac{1}{7} x^7 +\frac{1}{9} x^9 -\cdots</math>
| |
| − | :が発見される。これとは独立に[[1674年]]に[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]も同じ発見をしており、グレゴリー・ライプニッツ級数とも呼ばれる。ライプニッツは {{math|''x'' {{=}} 1}} を代入し、マーダヴァと同じ級数を得た<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.220-222, p.339.</ref>。
| |
| − | ;[[1681年]]
| |
| − | :'''[値]''' [[暦]]の作成にあたって円周率の近似値が必要になったため、[[関孝和]]が正 {{math|131,072}} 角形を使って小数第 16 位まで算出した。関が最終的に採用した近似値は「3.14159 26535 9微弱」というものだった<ref>「得三尺一寸四分一厘五毛九糸二忽六微五繊三紗五塵九埃微弱，為定周」[[#平山2007|平山 2007]], pp.57-58.</ref>が、[[エイトケンのΔ2乗加速法|エイトケン補外]]を用いた途中計算では小数第 16 位まで正確に求めている<ref name="soluble">中村佳正編、可積分系の応用数理、第6章、裳華房、2000年、ISBN 4-7853-1520-2.</ref>。西洋でエイトケン補外が再発見されたのは[[1876年]]、H.von.Nägelsbach によってである<ref name="soluble" /><ref>H.von.Nägelsbach, Arch.Math.Phys. 59(1876)147-192.</ref>。
| |
| − | ;[[1699年]]
| |
| − | :'''[値]''' (72) イギリス人の[[エイブラハム・シャープ|シャープ]]がグレゴリー・ライプニッツ級数に <math>x=\frac{1}{\sqrt{3}}</math> を入れ、{{π}} を小数第 72 位まで求めた<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.236, p.339.</ref>。
| |
| − | | |
| − | ==== 18世紀 ====
| |
| − | ;[[1706年]]
| |
| − | :'''[法][値]''' (100) イギリスの[[ジョン・マチン]]が[[マチンの公式]]
| |
| − | :<math>\frac{\pi}{4} =4\arctan \frac{1}{5} -\arctan \frac{1}{239}</math>
| |
| − | :を発見する。さらに、この関係式にグレゴリ・ライプニッツ級数を用いて小数第 100 位までの円周率を求めた<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.236-237, p.339.</ref>。
| |
| − | :'''[文]''' [[ウィリアム・ジョーンズ (数学者)|ウィリアム・ジョーンズ]]が初めて {{π}} を円周率の意味で用いた。[[1748年]]に[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]も同じ記法を用いたことで円周率を {{π}} と表記することが広まった<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.237, p.240, p.339.</ref>。
| |
| − | ;[[1719年]]
| |
| − | :'''[値]''' (127) フランスの[[トーマス・ラグニー]]が、シャープの方法で小数第 127 位まで計算を行う<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.237, p.339.</ref>。
| |
| − | ;[[1722年]]
| |
| − | :'''[値]''' [[建部賢弘]]が『[[綴術算経]]』（てつじゅつさんけい）を著し、正 {{math|1024}} 角形を用いて小数第 42 位まで求めた<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.175, p.326.では小数点以下41桁としている。</ref>。「累遍増約術」（Richardson補外）を適用し、関孝和の計算に比べて遥かに少ない計算で精度を大いに改善している。なお、[[ルイス・フライ・リチャードソン]]による同手法の提案は1910年頃である。
| |
| − | ;[[1761年]]
| |
| − | :'''[学]''' ドイツの[[ヨハン・ハインリッヒ・ランベルト|ランベルト]]によって {{π}} が[[有理数]]でないことが証明される<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.280-281では1767年としている。p.339では1766年としている。</ref>。
| |
| − | ;[[18世紀]]中頃
| |
| − | :'''[法]''' [[レオンハルト・オイラー|オイラー]]によって、多くの {{π}} に関する式が発見される。オイラーは
| |
| − | :<math>\frac{\pi}{4} =5\arctan \frac{1}{7} +2\arctan \frac{3}{79}</math>
| |
| − | :を用いて、 たった1時間で円周率を小数第 20 位まで計算した<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.256.</ref>。
| |
| − | ;[[1775年]]
| |
| − | :'''[学]''' フランスの[[科学アカデミー (フランス)|科学アカデミー]]が、ギリシアの[[定規とコンパスによる作図#ギリシアの三大作図問題|三大作図問題]]と[[永久機関]]についての論文審査を拒否する決議をした<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.287.</ref>。
| |
| − | ;[[1789年]]
| |
| − | :'''[値]''' (137) [[スロベニア]]の数学者[[ユリー・ベガ]]は、マチンの公式を用いて小数第 140 位まで値を求め、小数第 137 位までが正しかった。この記録はその後50年破られることがなかった<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.175, p.339.</ref>。
| |
| − | ;[[1794年]]
| |
| − | :'''[学]''' [[アドリアン＝マリ・ルジャンドル|ルジャンドル]]によって {{π}} は[[有理数]]の[[平方根]]にならないことが証明される<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.282, p.339.</ref>。
| |
| − | | |
| − | ==== 19世紀 ====
| |
| − | ;1850年頃 – [[1873年]]
| |
| − | :'''[値]''' (527) イギリスの[[ウィリアム・ラザフォード]]とその弟子の[[ウィリアム・シャンクス]]がマチンの公式を用いて桁数の記録を塗り替えた。1852年にラザフォードが小数第 441 位、シャンクスが小数第 530 位まで計算し、小数第 441 位までは両者の計算が一致していることでその計算の正しさを確認できた。しかし、{{math|arctan {{sfrac|1|5}}}} が小数第 530 位までしか正しくなく、シャンクスの計算で正しかったのは、小数第 527 位までであった。その後、シャンクスは1872年に小数第 707 位まで達したが、この誤りが最後までつきまとった<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.176-177, p.339.</ref>。
| |
| − | ;[[1882年]]
| |
| − | :'''[学]''' [[フェルディナント・フォン・リンデマン|リンデマン]]によって {{π}} が[[代数的数]]でないことが証明される。これにより {{π}} の[[超越数|超越性]]が証明され、[[円積問題]]も否定的に解決された<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.280, p.340.</ref>。
| |
| − | ;[[1896年]]
| |
| − | :'''[法]''' ストーマー ([[:en:Carl Størmer|''Fredrik Carl Mulertz Størmer'']]) は公式
| |
| − | :<math>\frac{\pi}{4} =6\arctan \frac{1}{8} +2\arctan \frac{1}{57} +\arctan \frac{1}{239}</math>
| |
| − | :を発見する<ref>[[#ニーバージェルトほか1976|ニーバージェルトほか 1976]], p.216.</ref><ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.304.</ref>。
| |
| − | ;[[1897年]]
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| − | :{{main|インディアナ州円周率法案}}
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| − | :'''[文][値]''' [[アメリカ合衆国]]の[[インディアナ州]]の下院で、[[医者]]の[[エドウィン・グッドウィン]]による円積問題解決方法を盛り込んだ議案246号が満場一致で通過した。グッドウィンの方法から得られる値は {{math|π {{=}} 3.1604, 3.2, 3.232, 4}} であり、このうち 4 については、公式に認められた最も不正確な円周率の値として[[ギネス・ワールド・レコーズ|ギネスブック]]に記載された。この法案は各審議会を通過していき上院に承認を求める段階にまで達した。しかし世論の批判に遭い、2月12日に上院によって議論の無期限延期が決められ、法案成立目前で却下された<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.288-293.</ref>。
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| − | | |
| − | ==== 20世紀 ====
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| − | ;[[1910年]]
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| − | :'''[法]''' [[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン|ラマヌジャン]]によって、級数表示
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| − | :<math>\frac{1}{\pi} =\frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{k!^4 396^{4k}}</math>
| |
| − | :が発見される<ref>{{Cite journal
| |
| − | |first = Ramanujan
| |
| − | |last = Srinivasa
| |
| − | |authorlink = シュリニヴァーサ・ラマヌジャン
| |
| − | |title = Modular Equations and Approximations to pi|journal=Journal of the Indian Mathematical Society
| |
| − | |issue = XLV
| |
| − | |year = 1914
| |
| − | |publisher = Indian Mathematical Society
| |
| − | |pages = 350-372
| |
| − | |ref = Ramanujan1914
| |
| − | }}</ref><ref>{{Cite book
| |
| − | |editor = [[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|G.H. Hardy]], P. V. Seshu Aiyar, and B. M. Wilson
| |
| − | |year = 1962
| |
| − | |title = Srinivasa Ramanujan: Collected Papers
| |
| − | |publisher = Chelsea Publishing Company
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| − | |pages = 23-29
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| − | |ref = Ramanujan1962
| |
| − | }}</ref>。この公式は、[[ジョナサン・ボールウェイン|ジョナサン]] & [[ピーター・ボールウェイン]]兄弟によって[[1987年]]に厳密に証明されるが、[[1985年]]に[[ウィリアム・ゴスパー]]がこの公式を用いて円周率を計算し、その正確さを示している。
| |
| − | ;[[1945年]]
| |
| − | :'''[値]''' (540) [[ファーガソン]] (D.F.Ferguson) が小数第 540 位までを計算し、ウィリアム・シャンクスの誤りを指摘する。シャンクスの計算は約70年間も信用されていた<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.177, p.340.</ref>。
| |
| − | | |
| − | このファーガソンの計算までが手計算によるものだった。手計算の時代は誤りが起こることも多かったが、この時代の数学の成果は、現代の計算機による円周率の計算においても非常に重要な役割を果たしている。
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| − | | |
| − | === 計算機による計算の時代 ===
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| − | {{See also|任意精度演算}}
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| − | ;[[1947年|1947]]–[[1948年]]
| |
| − | :'''[値]''' (808) ファーガソンは、卓上計算機を使用して808桁まで求めた。この計算は、[[レビ・スミス]]と[[ジョン・レンチ]]によっても検算され、シャンクスの計算が間違いであることが繰り返し確認された<ref>[[#ニーバージェルトほか1976|ニーバージェルトほか 1976]], p.215.</ref><ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.177, p.340.</ref>。
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| − | ;[[1949年]]
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| − | :'''[値]''' (2037) [[ライトウィーズナー]]が [[ENIAC]] を用いて[[マチンの公式]]により 2037桁を 70時間かけて計算した<ref>[[#ニーバージェルトほか1976|ニーバージェルトほか 1976]], p.215.</ref><ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.302, p.340.</ref>。
| |
| − | ;[[1954年]]
| |
| − | :'''[値]''' (3092) [[ニコルソン]]と[[ジーネル]]が、[[NORC]] を用いて3089桁を13分で計算した<ref>[[#ニーバージェルトほか1976|ニーバージェルトほか 1976]], pp.215-216.</ref><ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.302-303, p.340.</ref>。
| |
| − | ;[[1958年]]
| |
| − | :'''[値]'''（1万）[[フランソワ・ジェニューイ]]が、[[IBM 704]] を用いて 1万桁まで計算した<ref>[[#ニーバージェルトほか1976|ニーバージェルトほか 1976]], p.216.</ref><ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.303, p.340.</ref>。
| |
| − | ;[[1961年]]
| |
| − | :'''[値]'''（10万）ジョン・レンチと[[ダニエル・シャンクス]]が [[IBM 7090]] を用いて 10万桁まで計算した。計算には[[ストーマーの公式]]
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| − | :<math>\frac{\pi}{4} =6\arctan \frac{1}{8} +2\arctan \frac{1}{57} +\arctan \frac{1}{239}</math>
| |
| − | :を使用した。検算には[[ガウスの公式]]
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| − | :<math>\frac{\pi}{4} =12\arctan \frac{1}{18} +8\arctan \frac{1}{57} -5\arctan \frac{1}{239}</math>
| |
| − | :を使用した<ref>[[#ニーバージェルトほか1976|ニーバージェルトほか 1976]], pp.216-217.</ref><ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.303-305, p.340.</ref>。
| |
| − | [[ファイル:IBM7030 p1040280.jpg|thumb|IBM 7030 保守コンソール。''Musée des arts et métiers''（パリ）所蔵]]
| |
| − | ;[[1966年]]
| |
| − | :'''[値]'''（25万）パリの原子力エネルギー委員会にある [[IBM 7030]] を用いて25万桁まで計算した<ref>[[#ニーバージェルトほか1976|ニーバージェルトほか 1976]], pp.216-217.</ref><ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.305, p.340.</ref>。
| |
| − | ;[[1967年]]
| |
| − | :'''[値]'''（50万）パリの原子力エネルギー委員会にある [[CDC 6600]] を用いて50万桁まで計算した<ref>[[#ニーバージェルトほか1976|ニーバージェルトほか 1976]], pp.216-217.</ref><ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.305, p.340.</ref>。
| |
| − | ;[[1973年]]
| |
| − | :'''[値]'''（100万）[[ジャン・ギュー]]と[[マルティーヌ・ブイエ]]が [[CDC 7600]] を用いて 100万1250桁まで計算した。
| |
| − | :'''[法]''' [[ユージン・サラミン]]と[[リチャード・ブレント]]が独立に、[[算術幾何平均]]を用いた[[アルゴリズム]]を発見する。
| |
| − | ;[[1982年]]
| |
| − | :'''[値]'''（209万）[[田村良明]]が MELCOM 900 Ⅱ を用いてサラミンとブレントのアルゴリズムにより209万7144桁まで計算<ref>[[#田村1987|田村 1987]]</ref>。
| |
| − | :'''[値]'''（419万）田村良明と[[金田康正]]が HITAC M-280H を用いて419万4288桁、ついで838万8576桁まで計算<ref>[[#田村1987|田村 1987]]</ref>。
| |
| − | ;[[1983年]]
| |
| − | :'''[値]'''（1677万）金田康正と吉野さやかが HITAC M-280H を用いて1677万7206桁まで計算<ref>[[#田村1987|田村 1987]]</ref>。
| |
| − | :'''[値]'''（1001万）後保範と金田康正が HITAC S-810/20 を用いて1001万3395桁まで計算。アルゴリズムはガウスの公式による<ref>[[#田村1987|田村 1987]]</ref>。
| |
| − | :'''[値]'''（7万）[[若松登志樹]]が[[シャープ]]のパソコン [[MZ-80#MZ-80B|MZ-80B]] を用いて[[ガウスの公式]]
| |
| − | :<math>\frac{\pi}{4} =12\arctan \frac{1}{18} +8\arctan \frac{1}{57} -5\arctan \frac{1}{239}</math>
| |
| − | :により7万1508桁まで計算<ref>[[#若松1983|若松 1983]]</ref>。<!--
| |
| − | 注）実際は12万1121桁まで計算したが、7万1509桁以降の数字に誤りがあったことが後に判明し、現在では上記の記録が公式記録となっている。
| |
| − | MZ-80B による計算記録は、若松氏自身によって執筆され、雑誌「RAM」廣済堂に掲載された記事をもとにしたものです。その記事によれば、同機の搭載メモリ容量では7万余桁の計算が上限だとあります。12万1121桁という数字は同機のスペックからしてもありえず、何らかの過誤かと思われます。よってコメントアウト。-->
| |
| − | ;[[1985年]]
| |
| − | :'''[値]'''（1752万）[[ウィリアム・ゴスパー]]が[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン]]の式を用いて、1752万6200桁まで計算した。
| |
| − | ;[[1989年]]
| |
| − | :この年は、[[チュドノフスキー兄弟]]と金田康正・田村良明によって激しい計算競争が行われた。
| |
| − | :'''[値]'''（4.80億）5月に[[デビッド・チュドノフスキー]]と[[グレゴリー・チュドノフスキー]]によって4億8000万桁まで計算された。
| |
| − | :'''[値]'''（5.36億）7月に金田康正と田村良明によって5億3687万898桁まで計算された。
| |
| − | :'''[値]'''（10.1億）8月にデビッド・チュドノフスキーとグレゴリー・チュドノフスキーによって10億1119万6691桁まで計算された。
| |
| − | :'''[値]'''（10.7億）11月に金田康正と田村良明によって10億7374万1799桁まで計算された<ref>[[#金田1991|金田 1991]]</ref>。
| |
| − | ;[[1990年]]
| |
| − | :'''[値]'''（100万）[[若松登志樹]]が[[富士通]]のパソコン [[FM-TOWNS]] を用いて[[シュテルマーの公式]]
| |
| − | :<math>\frac{\pi}{4} =6\arctan \frac{1}{8} +2\arctan \frac{1}{57} +\arctan \frac{1}{239}</math>
| |
| − | :により100万118桁まで計算<ref>[[#若松1990|若松 1990]]</ref>。
| |
| − | ;[[1994年]]
| |
| − | :'''[法]''' チュドノフスキー兄弟によって級数
| |
| − | :<math>\frac{1}{\pi} =12\sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)!(13591409+ 545140134k)}{(3k)!k!^3 640320^{3k+\tfrac{3}{2}}}</math>
| |
| − | :が発見された。
| |
| − | ;[[1995年]][[9月19日]][[午前]]0時29分
| |
| − | :'''[法]''' [[カナダ]]の[[サイモン・フレーザー大学]]で、[[デビット・H・ベイリー]]、[[ピーター・ボールウェイン]]、[[サイモン・プラウフ]]の研究チームが級数
| |
| − | :<math>\pi =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k+1} -\frac{2}{8k+4} -\frac{1}{8k+5} -\frac{1}{8k+6} \right)</math> | |
| − | :を発見する。この式では[[二進法]]または[[十六進法]]で {{math|''n'' − 1}} 桁までを求めずに {{mvar|n}} 桁目以降の {{π}} の値を計算できる。[http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/ ベイリーのウェブサイト]で様々な[[プログラミング言語]]用の実装例を見ることができる。
| |
| − | :他の[[位取り記数法]]（たとえば[[十進法]]）で同様の級数が存在するかは判明していない。
| |
| − | ;[[1997年]]
| |
| − | :'''[値]'''（515億）金田康正と[[高橋大介]]が [[HITACHI SR2201]] を用いて 4次の[[ボールウェインのアルゴリズム]]により 515億3960万桁まで計算した。
| |
| − | ;[[1999年]]
| |
| − | :'''[値]'''（2061億）金田康正と高橋大介（[[埼玉大学]]）が [[HITACHI SR8000]] (1 TFLOPS) を用いて[[ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズム]]と[[分割有理数化法]] (DRM)<ref>「級数に基づく多数計算の演算量削減を実現する分割有理数化法」情報処理学会論文誌第41巻第6号p811-819（2002年6月）</ref>により 2061億5843万桁まで計算し、4次の[[ボールウェインのアルゴリズム]]で検証した。
| |
| − | :[[ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズム]]（865GB、37.3時間）
| |
| − | :<math>\frac{\pi}{4} =48\arctan \frac{1}{49} +128\arctan \frac{1}{57} +20\arctan \frac{1}{239} +48\arctan \frac{1}{110443}</math>
| |
| − | :検証計算がボールウェインの4次収束アルゴリズム(817GB、46.1時間）
| |
| − | :<math>\frac{\pi}{4} =176\arctan \frac{1}{57} +28\arctan \frac{1}{239} -48\arctan \frac{1}{682} +96\arctan \frac{1}{12943}</math>
| |
| − | ;[[2002年]]
| |
| − | :'''[値]'''(1.24兆) 金田康正が HITACHI SR8000（0.9TFOPS、約850GB使用、検証含め約84時間）を用いて[[高野喜久雄]]の公式（ガウス・ルジャンドル法）
| |
| − | :<math>\frac{\pi}{4} =12\arctan \frac{1}{49} +32\arctan \frac{1}{57} -5\arctan \frac{1}{239} +12\arctan \frac{1}{110443}</math>
| |
| − | : と[[分割有理数化法]]により1兆2411億桁まで計算した。検証計算などを含めて約600時間かけた。
| |
| − | ;[[2009年]]8月
| |
| − | :'''[値]'''（2.57兆）[[筑波大学計算科学研究センター]]の高橋大介が、円周率を2兆5769億8037万桁まで計算する世界記録を樹立したと発表した。「[[T2Kオープンスパコン|T2K筑波システム]]」（毎秒95兆回）を使い、検証計算を含めて約73時間36分を要した<ref>{{cite web
| |
| − | |author = 高橋大介
| |
| − | |date = 2009-08-17
| |
| − | |title = 円周率2兆5769億8037万桁計算の結果について
| |
| − | |url = http://www.hpcs.cs.tsukuba.ac.jp/~daisuke/pi-j.html
| |
| − | |accessdate = 2012-09-27
| |
| − | }}</ref><ref>{{cite web
| |
| − | |date = 2009-08-17
| |
| − | |title = 円周率の計算けた数で世界記録を樹立
| |
| − | |url = http://www.tsukuba.ac.jp/topics/20090819133359.html
| |
| − | |publisher = [[筑波大学]]
| |
| − | |accessdate = 2012-09-27
| |
| − | }}</ref>。
| |
| − | ;2009年12月
| |
| − | :'''[値]'''（2.69兆）[[フランス]]の[[ファブリス・ベラール]]（[[:en:Fabrice Bellard]]、[[QEMU]] や [[FFmpeg]] などが知られる）が、[[Intel Core i7]] を搭載したデスクトップPCでチュドノフスキーの級数を用いて2兆6999億9999万桁まで計算し、世界記録を樹立した。バイナリーでの計算に103日、検算に13日。データ量 1137GB<ref>[2010年1月12日読売夕刊12面]</ref>。2.93GHz のクアッドコアプロセッサ、6GB のメモリ、7.5TB のストレージを搭載したデスクトップPCを使用し、検証計算を含めて131日を要した<ref>{{citation
| |
| − | |first = {{lang|fr|Fabrice}}
| |
| − | |last = {{lang|fr|Bellard}}
| |
| − | |date = 2009-12-31
| |
| − | |title = {{lang|en|Pi Computation Record}}
| |
| − | |url = http://bellard.org/pi/pi2700e9/announce.html
| |
| − | |language = 英語
| |
| − | |accessdate = 2012-09-27
| |
| − | }}</ref>。
| |
| − | ;[[2010年]]
| |
| − | :'''[値]'''（5兆）[[長野県]][[飯田市]]の会社員近藤茂と米国のアレクサンダー・J・イーが、3カ月かけてパソコンで小数点以下5兆桁まで計算した<ref>{{cite news
| |
| − | |title = 円周率５兆けた、ＰＣで計算 長野の会社員、３カ月かけ
| |
| − | |author = 松井潤
| |
| − | |newspaper = [[朝日新聞]]
| |
| − | |publisher = [[朝日新聞社]]
| |
| − | |date = 2010-8-05
| |
| − | |url = http://www.asahi.com/science/update/0804/TKY201008040488.html
| |
| − | |accessdate = 2012-08-09
| |
| − | |archiveurl = https://web.archive.org/web/20100806040532/http://www.asahi.com/science/update/0804/TKY201008040488.html
| |
| − | |archivedate = 2010年8月6日
| |
| − | |deadlinkdate = 2017年9月
| |
| − | }}</ref><ref>{{cite news
| |
| − | |title = 円周率５兆桁でギネス認定 近藤さん、１０兆にも挑戦中
| |
| − | |newspaper = 共同通信
| |
| − | |date = 2011-01-19
| |
| − | |url = http://www.47news.jp/CN/201101/CN2011011901000745.html
| |
| − | |accessdate = 2011-02-27
| |
| − | }}</ref><ref>{{cite news
| |
| − | |title = 円周率５兆けた計算、ギネスも認めた 長野の会社員
| |
| − | |newspaper = 朝日新聞
| |
| − | |date = 2011-02-13
| |
| − | |url = http://www.asahi.com/national/update/0212/TKY201102120239.html
| |
| − | |accessdate = 2011-02-27
| |
| − | |ref = 朝日20110213
| |
| − | }}</ref>。
| |
| − | ;[[2011年]]
| |
| − | :'''[値]'''（10兆）近藤茂とアレクサンダー・J・イーが、1年1カ月かけてパソコンで小数点以下10兆桁まで計算したと発表<ref>{{Cite news
| |
| − | |url = http://www.47news.jp/CN/201110/CN2011101601000563.html
| |
| − | |title = 長野男性、円周率で１０兆桁達成 自作パソコンで
| |
| − | |work = 47NEWS
| |
| − | |newspaper = [[共同通信]]
| |
| − | |date=2011-10-16
| |
| − | |accessdate = 2011-10-17
| |
| − | }}</ref>。
| |
| − | ;[[2013年]]
| |
| − | :'''[値]'''（12.1兆）近藤茂とアレクサンダー・J・イーが、94日かけてパソコンで小数点以下12.1兆桁まで計算したと発表<ref>{{Cite news
| |
| − | |url = http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-12t/
| |
| − | |title = 12.1 Trillion Digits of Pi
| |
| − | |date=2013-12-28
| |
| − | |accessdate = 2014-4-17
| |
| − | }}</ref>。
| |
| − | ;[[2014年]]
| |
| − | :'''[値]'''（13.3兆）Sandon Nash Van Nessが208日をかけてワークステーションで小数点以下13.3兆桁まで計算したと発表<ref>{{Cite news
| |
| − | |url = http://www.numberworld.org/y-cruncher/
| |
| − | |title = y-cruncher - A Multi-Threaded Pi-Program
| |
| − | |accessdate = 2015-2-1
| |
| − | }}</ref><ref>[https://archive.is/PIksX Pi Day and "houkouonchi"]</ref><ref>[http://archive.is/rRA0D www.dignitymemorial.com]</ref>。この数カ月後にVan Nessは死去。
| |
| − | ;[[2016年]]
| |
| − | :'''[値]'''（22.4兆）ピーター・トリュープが、105日をかけてパソコンで小数点以下22兆4591億5771万8361桁まで計算したと発表<ref>{{Cite news
| |
| − | |url = http://www.numberworld.org/y-cruncher/
| |
| − | |title = y-cruncher - A Multi-Threaded Pi-Program
| |
| − | |accessdate = 2016-11-22
| |
| − | }}</ref><ref>{{Cite news
| |
| − | |url = http://pi2e.ch/blog/2016/11/11/hitting-the-target/
| |
| − | |title = Hitting the Target - pi2e trillion digits of pi
| |
| − | |accessdate = 2016-11-11
| |
| − | }}</ref>。
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| − | | |
| − | == 脚注 ==
| |
| − | {{脚注ヘルプ}}
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| − | {{Reflist|2}}
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| − | | |
| − | == 参考文献 ==
| |
| − | *{{Cite book|和書
| |
| − | |author = アルキメデス
| |
| − | |authorlink = アルキメデス
| |
| − | |editor = [[田村松平]]責任編集
| |
| − | |others = [[三田弘雄]]訳
| |
| − | |year = 1972
| |
| − | |month = 2
| |
| − | |title = ギリシアの科学
| |
| − | |series = 世界の名著 9
| |
| − | |publisher = 中央公論社
| |
| − | |chapter = 円の計算
| |
| − | |id = ISBN 978-4-12-400089-4 / ISBN 978-4-12-400619-3
| |
| − | |ref = アルキメデス1972
| |
| − | }}
| |
| − | *{{Cite book|和書
| |
| − | |author = 上野健爾
| |
| − | |authorlink = 上野健爾
| |
| − | |date = 2013-06-18
| |
| − | |title = 円周率が歩んだ道
| |
| − | |series = 岩波現代全書 004
| |
| − | |publisher = 岩波書店
| |
| − | |isbn = 978-4-00-029104-0
| |
| − | |ref = 上野2013
| |
| − | }}
| |
| − | *{{Cite book|和書
| |
| − | |author = 大野栄一
| |
| − | |authorlink = 大野栄一
| |
| − | |date = 1991-10-20
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| − | |title = パソコンで挑む円周率 πの歴史から計算まで
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| − | |publisher = 講談社
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| − | |isbn = 4-06-132889-1
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| − | |ref = 大野1991
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| − | }}
| |
| − | *{{Cite book|和書
| |
| − | |author = 金田康正
| |
| − | |authorlink = 金田康正
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| − | |year = 1991
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| − | |month = 4
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| − | |title = <ruby><rb>''π''</rb><rp>（</rp><rt>パイ</rt><rp>）</rp></ruby>のはなし
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| − | |publisher = 東京図書
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| − | |isbn = 4-489-00338-2
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| − | |ref = 金田1991
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| − | }}
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| − | *{{Cite book |和書 |author=[[小林昭七]] |date=1999-06 |title=円の数学 |publisher=裳華房 |isbn=978-4-7853-1516-0 |ref={{Harvid|小林|1999}} }}
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| − | *{{Cite book|和書
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| − | |author = ジョージ・G・ジョーゼフ
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| − | |authorlink = ジョージ・G・ジョーゼフ
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| − | |others = [[垣田高夫]]・[[大町比佐栄]]訳
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| − | |year = 1996
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| − | |month = 5
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| − | |title = 非ヨーロッパ起源の数学 もう一つの数学史
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| − | |publisher = 講談社
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| − | |series = ブルーバックス B-1120
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| − | |isbn = 4-06-257120-X
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| − | |ref = ジョーゼフ1996
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| − | }}
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| − | *{{Cite journal|和書
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| − | |author = 田村良明
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| − | |authorlink = 田村良明
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| − | |year = 1987
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| − | |month = 11
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| − | |title = “π”の魅力，１億桁をねらう
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| − | |journal = パリティ
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| − | |pages = 84-86
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| − | |publisher = 丸善
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| − | |ref = 田村1987
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| − | }}
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| − | *{{Cite book|和書
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| − | |author = [[J・ニーバージェルト|ニーバージェルト, J・]]
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| − | |coauthors = [[J・C・ファーラー|ファーラー, J・C]]・[[E・M・レインゴールド|レインゴールド, E・M]]
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| − | |others = [[浦昭二]]・[[近藤頌子]]共訳
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| − | |year = 1976
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| − | |month = 5
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| − | |title = 数学問題へのコンピュータアプローチ
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| − | |publisher = 培風館
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| − | |isbn = 978-4-563-00732-4
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| − | |ref = ニーバージェルトほか1976
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| − | }}
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| − | *{{Cite book|和書
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| − | |author = 平山諦
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| − | |authorlink = 平山諦
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| − | |year = 2007
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| − | |month = 7
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| − | |title = 和算の歴史 その本質と発展
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| − | |publisher = 筑摩書房
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| − | |series = ちくま学芸文庫
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| − | |isbn = 978-4-480-09084-3
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| − | |ref = 平山2007
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| − | }}
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| − | *{{Cite book|和書
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| − | |author = ペートル・ベックマン
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| − | |authorlink = ペートル・ベックマン
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| − | |others = [[田尾陽一]]・[[清水韶光]]訳
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| − | |year = 2006
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| − | |month = 4
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| − | |title = πの歴史
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| − | |publisher= 筑摩書房
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| − | |series = ちくま学芸文庫
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| − | |isbn = 4-480-08985-3
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| − | |ref = ベックマン2006
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| − | }}
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| − | *{{Cite journal|和書|author=若松登志樹|authorlink=若松登志樹|year=1983|month=6|title=πを求める――70,000桁の計算に挑戦！|journal=RAM|pages=160-166|publisher=廣済堂|ref=若松1983}}
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| − | *{{Cite journal|和書|author=若松登志樹|year=1990|month=7|title=円周率π 100万桁への挑戦！YES, I HAVE A NUMBER|journal=Oh!FM|pages=88-96|publisher=日本ソフトバンク|ref=若松1990}}
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| − | == 関連項目 ==
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| − | *[[円周率の無理性の証明]]
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| − | *[[マチンの公式]]
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| − | | |
| − | == 外部リンク ==
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| − | *{{Cite web
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| − | |last = Yee|first = Alexander J.
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| − | |date = 2011-04-08
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| − | |url = http://www.numberworld.org/y-cruncher/
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| − | |title = y-cruncher - A Multi-Threaded Pi-Program
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| − | |publisher =
| |
| − | |accessdate = 2011-04-15
| |
| − | }} - アレクサンダー・J・イーのサイト。小数点以下5兆桁まで計算したプログラムを公開している。
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| − | *{{Cite web
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| − | |author = 金田康正
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| − | |date = 2010-08-10
| |
| − | |url = http://pi2.cc.u-tokyo.ac.jp/index-j.html
| |
| − | |title = 金田研究室ホームページ
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| − | |publisher =
| |
| − | |accessdate = 2011-04-17
| |
| − | }} - [[金田康正]]研究室のサイト。「[[スーパーπ]]」プログラムと円周率の計算結果を公開している。
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| − | *{{Cite web
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| − | |date =
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| − | |url = ftp://pi.super-computing.org/pub/pi10m/pi10m.ascii.01of10
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| − | |title = 円周率のはじめの百万桁
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| − | |publisher =
| |
| − | |accessdate = 2011-04-15
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| − | }}
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| − | *{{Cite web
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| − | |date =
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| − | |url = http://piworld.calico.jp/
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| − | |title = PI-World site(円周率13兆桁)
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| − | |publisher =
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| − | |accessdate = 2015-12-03
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| − | }}
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| − | {{数学}}
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| − | | |
| − | {{DEFAULTSORT:えんしゆうりつのれきし}}
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| − | [[Category:円周率|れきし]]
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| − | [[Category:計算数論]]
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| − | [[Category:年表]]
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| − | [[Category:数学史]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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