信頼区間
信頼区間（しんらいくかん、英: Confidence interval, CI）とは、母数空間 Θ 上の関数 g : Θ → R が母数 θ ∈ Θ でとる値 g(θ) を統計的に推定するために用いられる区間。実数 0 < α < 1 と（観測できない）母数 θ により定まる確率分布 P = Pθ をもつ母集団からの標本 X1, ..., Xn に関する統計量 a, b が不等式
- [math]P(a \leq g(\theta) \leq b) \geq 1 - \alpha [/math]
を満たすとき、閉区間 [a, b] を g(θ) の 100(1 − α)% 信頼区間という。値 1 − α （または 100(1 − α)%）は、信頼水準（英: confidence level）または信頼係数（英: confidence coefficient）と呼ばれ、慣習的には95%や99%（つまり α = 0.05, 0.01）などの数値を用いる。これを
- 100(1 − α)% CI [a, b]
と表記することもある。
例えば「信頼水準95%で、投票者の35%から45%がA候補を支持している」といったとき、95%というのが信頼水準で、35%から45%というのが信頼区間、g(θ) に当たるのはA候補の支持率である。
解釈
上の言い方は「候補Aの支持率が35%から45%である確率は95%である」 というふうにとられやすいが、これは（少なくとも従来の統計学の主流的考え方としては）誤解である。
別の例として、観測値から海王星の質量を推定する場合を以下に記す。
1.「信頼水準90%で、海王星の質量は a から b の間である」
とは言えるが、観測から得られた値 a と b に基づいて
2.「海王星の質量が a から b の間に入る確率は90%である」
と言うことはできない。質量はあくまで定数であって、誤差が生じるのは観測による、つまり a と b が誤差を含む統計量だからである。従来の統計学（確率を頻度として定義する頻度主義）の考え方では海王星の例（1）を言い直せば、
1'.「同じ測定を10回行えば、確率的に9回程度の頻度で『海王星の質量は a から b の間である』という測定結果が得られる」
ということになる。
ただし、確率を信頼の度合いとして定義するベイズ推計学の考え方では、2のような言い方は必ずしも誤りではない。この場合、普通用いられる考え方はベイズ確信区間（Bayesian credible interval）である。これはまず θ の値として予想される事前確率分布から出発して、次に観測データが与えられた条件での θ の条件付確率分布を求め、これを事後確率分布として“信頼”区間の表現に用いる方法である。
具体例
X1, ..., Xn を、平均 μ、分散 σ2 > 0 の正規分布に従う母集団から抽出した独立な標本とする。そこで標本平均と不偏分散をそれぞれ
- [math]\overline{X}=(X_1+\cdots+X_n)/n[/math]
- [math]S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2[/math]
とおけば
- [math]T=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}[/math]
は自由度 n − 1 のt分布に従う。 ここで T が従う分布は（観測できない）母数 θ = (μ, σ2) にはよらないことに注意。
tn−1(α) をこの分布の上側100α%点とすれば
- [math]P\big( -t_{n - 1}(\alpha/2) \leq T \leq t_{n - 1}(\alpha/2) \big) = 1 - \alpha[/math]
となる。したがって
- [math]P\left( \overline{X} - t_{n - 1}(\alpha/2) \frac{S}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \overline{X} + t_{n - 1}(\alpha/2)\frac{S}{\sqrt{n}} \right) = 1 - \alpha[/math]
が成り立ち、平均 g(θ) = μ の 100(1 − α)% 信頼区間
- [math]\left[ \overline{X} - t_{n - 1}(\alpha/2) \frac{S}{\sqrt{n}},\quad \overline{X} + t_{n - 1}(\alpha/2) \frac{S}{\sqrt{n}} \right][/math]
が得られる。