五角形

正五角形

五角形（ごかくけい、ごかっけい、英: pentagon）は、5つの頂点と辺を持つ多角形の総称。

正五角形

正五角形は、各辺の長さが等しく、内角も108°（中心角は72°）と一定な五角形である。辺の長さを a とすると

面積: [math]A = \frac{5a^2}{4}\cot\frac{\pi}{5} = \frac{a^2}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}} \simeq 1.72048 a^2[/math]
内接円の半径: [math]r = \frac{a}{2}\cot\frac\pi{5}[/math]
外接円の半径: [math]R = \frac{a}{2}\csc\frac\pi{5}=\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{10}a[/math]

定規とコンパスによる作図例

正五角形(regular pentagon)は定規とコンパスによる作図が可能である。以下に示すのは古典的な方法の一つである。

(1)	(2)	(3)	(4)
(1)	(2)	(3)	(4)

直線上の一点Oを中心にとった円を描画し、直線と交わる二点をA, Bとする。ABの垂直二等分線、およびOAの垂直二等分線を作図する。
OAとその垂直二等分線が交わる点をC、円OとABの垂直二等分線が交わる点のうち一つをDとする。CDを半径にとり、Cを中心にDからABまで弧を描画する。弧とABが交わる点をEとする。
DEを半径にとり、Dを中心に弧を描画する。弧が円Oと交わる二点をF, Gとする。
同じ半径のままF, Gを中心とした弧を描画する。これらの弧が円Oと交わる五点D, F, G, I, Hを結ぶ図形が正五角形である。

正五角形の対角線（五芒星）

紙片の結び目と正五角形		紙片の結び目と正五角形
紙片の結び目と正五角形

五角形の対角線を繋いだ星形を五芒星（ペンタグラム）という。たとえば長崎市の市章などはペンタグラムとなっている。
細長い紙片、（またはリボンや割り箸袋など）で一重結びの結び目を作ると正五角形が得られる。
アメリカ国防総省を俗にペンタゴンというが、これはワシントンD.C.にある本部庁舎が五角形であることに由来する。
飯塚伊賀七の作った茨城県つくば市谷田部にある五角堂は、五角形をした建築物である^[1]。
ヒトデやウニなど、棘皮動物の体制は五放射相称を基本とする。
[math]\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}[/math]で、これに黄金比を掛けると1/2になる。つまり、2sin18°は黄金比の逆数。
五角数は多角数の一つである。
野球で使用される本塁は、五角形をしている。本塁は正五角形ではなく正方形を元につくられる五角形である。
これも正五角形ではないが、将棋の駒も先の尖った独特の五角形をしている。