レムニスケート

ファイル:Lemniscate of Bernoulli.svg

ベルヌーイのレムニスケートと二つの焦点

ファイル:Lemniscate of Bernoulli.gif

ベルヌーイのレムニスケートは直角双曲線の垂足曲線である。

ファイル:Sinusoidal spirals.svg

レムニスケート（英: lemniscate）は極座標の方程式

[math]r^2 = 2a^2 \cos 2\theta[/math]

で表される曲線である。連珠形（れんじゅけい）とも呼ばれる。またヤコブ・ベルヌーイのレムニスケートとも呼ばれる。カッシーニの卵形線の一種と見なすことができる。

直交座標の方程式では

[math](x^2 + y^2)^2 - 2a^2(x^2 - y^2) = 0[/math]

となる。

x軸、y軸に対して線対称である。原点Oで自らと交わる。原点Oにおける接線はy=x,y=-xとなる。原点Oと[math]\sqrt{2}a,-\sqrt{2}a[/math]でx軸と交わる（以下、この二点を「交点」と呼ぶ）。点 (±a, 0) は、レムニスケートの焦点（英：focus, -ci）と呼ばれる。レムニスケート上では、「任意の点と一方の焦点との距離」と「その任意の点ともう一方の焦点との距離」の積は一定である。直角双曲線の接線に、原点から垂線を下ろした点の軌跡はレムニスケートになる。また、中心が直角双曲線上にあり、なおかつ原点を通る円の包絡線はレムニスケートになる。

ループ1つで囲まれる面積は[math]a^2[/math]であり、2つ合わせて[math]2a^2[/math]となる。曲線の弧長は楕円積分によって表される。

レムニスケートはベルヌーイ兄弟によって最初に発見され、イタリアの数学者ファニャーノによって楕円積分論の事例として詳しく研究された。オイラーはファニャーノの『数学論文集』に刺激を受け、微分方程式論の研究を発展させ、独自の楕円積分論を構築した。

関連項目

• レムニスケート周率

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Lemniscate”. MathWorld（英語）.
• テンプレート:MacTutor （英語）
• "Lemniscate de Bernoulli" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables （フランス語）
• Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli （フランス語）