ルジャンドルの関係式

数学において、ルジャンドルの関係式(Legendre relation)は第一種完全楕円積分と第二種完全楕円積分の間に成立する恒等式である。

[math]K(k)E\left(\sqrt{1-k^2}\right)+E(k)K\left(\sqrt{1-k^2}\right)-K(k)K\left(\sqrt{1-k^2}\right)=\frac{\pi}{2}[/math]

証明

完全楕円積分の導関数

[math]\begin{align}k\frac{d}{dk}E(k) &=k\frac{d}{dk}\frac{\pi}{2}\left(1-\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{2n-1}}\right)\\ &=\frac{\pi}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\left(-\frac{1}{2n-1}-1\right)k^{2n}\\ &=E(k)-K(k) \end{align}[/math]

[math]\begin{align}k\frac{d}{dk}K(k) &=k\frac{d}{dk}\frac{\pi}{2}\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}\right)\\ &=\frac{\pi}{2}\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\left(\frac{(2n)^2}{(2n-1)^2}(2n-2+1)-\frac{1}{2n-1}-1\right)k^{2n}}\\ &=k^2\left(k \frac{d}{dk}K(k)+K(k)\right)+E(k)-K(k) \end{align}[/math]

[math]k(1-k^2)\frac{d}{dk}K(k)=E(k)-(1-k^2)K(k)[/math]

から、微分方程式

[math]\begin{align}\frac{d}{dk}\left(k(1-k^2)\frac{d}{dk}K(k)\right) &=\frac{E(k)-K(k)}{k}-(1-k^2)\frac{E(k)-(1-k^2)K(k)}{k(1-k^2)}+2kK(k)\\ &=\frac{E(k)-K(k)-E(k)+(1-k^2)K(k)}{k}+2kK(k)\\ &=kK(k)\\ \end{align}[/math]

が得られるが、ここで[math]k'=\sqrt{1-k^2}[/math]とすれば

[math]\begin{align}\frac{d}{dk}\left(k(1-k^2)\frac{d}{dk}K(k')\right) &=\frac{dk'}{dk}\frac{d}{dk'}\left(k(1-k^2)\frac{dk'}{dk}\frac{d}{dk'}K(k')\right)\\ &=\frac{k}{\sqrt{1-k^2}}\frac{d}{dk'}\left(k^2\sqrt{1-k^2}\frac{d}{dk'}K(k')\right)\\ &=\frac{k}{k'}\frac{d}{dk}\left((1-k'^2)k'\frac{d}{dk'}K(k')\right)\\ \end{align}[/math]

であるから[math]K'(k)=K(k')[/math]も同じ微分方程式の解になる。[math]Y(k)=\sqrt{k(1-k^2)}K(k)[/math]とすれば

[math]\begin{align}\frac{d^2}{dk^2}Y(k) &=\sqrt{k(1-k^2)}\frac{d^2}{dk^2}K(k)+\frac{(1-3k^2)}{\sqrt{k(1-k^2)}}\frac{d}{dk}K(k)+\frac{3k^4-6k^2-1}{4\sqrt{k(1-k^2)}\;k(1-k^2)}K(k)\\ &=\frac{1}{\sqrt{k(1-k^2)}}\left(k(1-k^2)\frac{d^2}{dk^2}K(k)+(1-3k^2)\frac{d}{dk}K(k)+\frac{3k^4-6k^2-1}{4k(1-k^2)}K(k)\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{k(1-k^2)}}\left(\frac{d}{dk}\left(k(1-k^2)\frac{d}{dk}K(k)\right)+\frac{3k^4-6k^2-1}{4k(1-k^2)}K(k)\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{k(1-k^2)}}\left(kK(k)+\frac{3k^4-6k^2-1}{4k(1-k^2)}K(k)\right)\\ &=-\frac{(1+k^2)^2}{4k^2(1-k^2)^2}Y(k)\\ \end{align}[/math]

となり、[math]Y'(k)=\sqrt{k(1-k^2)}K'(k)[/math]も同様である。故に

[math]\frac{\frac{d^2}{dk^2}Y(k)}{Y(k)}=-\frac{(1+k^2)^2}{4k^2(1-k^2)^2}=\frac{\frac{d^2}{dk^2}Y'(k)}{Y'(k)}[/math]

であるから

[math]Y(k)\frac{d^2}{dk^2}Y'(k)-Y'(k)\frac{d^2}{dk^2}Y(k)=0[/math]

[math]\sqrt{k(1-k^2)}K(k)\frac{d^2}{dk^2}\left(\sqrt{k(1-k^2)}K'(k)\right)-\sqrt{k(1-k^2)}K'(k)\frac{d^2}{dk^2}\left(\sqrt{k(1-k^2)}K(k)\right)=0[/math]

が成立する。積分して整理すると

[math]k(1-k^2)\left(K(k)\frac{d}{dk}K'(k)-K'(k)\frac{d}{dk}K(k)\right)=C[/math]

となり、これに

[math]\frac{d}{dk}K(k)=\frac{E(k)-(1-k^2)K(k)}{k(1-k^2)}[/math]

[math]\frac{d}{dk}K'(k)=\frac{d}{dk}K\left(\sqrt{1-k^2}\right)=\frac{-k}{\sqrt{1-k^2}}\frac{E\left(\sqrt{1-k^2}\right)-k^2K\left(\sqrt{1-k^2}\right)}{\sqrt{1-k^2}\;k^2}=-\frac{E'(k)-k^2K'(k)}{k(1-k^2)}[/math]

を代入すると

[math]K(k)E'(k)+E(k)K'(k)-K(k)K'(k)=-C[/math]

が得られる。不完全楕円積分の極限を用いて

[math]\begin{align}-C&=K(k)E'(k)+E(k)K'(k)-K(k)K'(k)\\ &=\lim_{x\to1}F(x,0)E(x,1)+E(x,0)F(x,1)-F(x,0)F(x,1)\\ &=\lim_{x\to1}\sin^{-1}x\left(x+\tanh^{-1}x-\tanh^{-1}x\right)\\ &=\frac{\pi}{2}\\ \end{align}[/math]

が得られる。

出典

• Wolfram MathWorld: Legendre Relation