ヤングの不等式

ヤングの不等式(-ふとうしき、Young's inequality)とは、積とべき乗の和との間に成り立つ不等式であり、様々な分野で広く用いられている。

a,bを非負値な実数、1 < p,q < ∞を1/p + 1/q = 1 なる実数とする。このとき、

[math]ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.[/math]

が成り立つ。等号が成立するのは a^p = b^q のときに限る。

とくに、これを変形した任意のε>0に対する式

[math]ab \le \varepsilon a^p + \frac{1}{\varepsilon ^{\frac{1}{p-1}}} b^q.[/math]

もよく使われる。

一般化されたヤングの不等式

f(x)をx≧0で連続、狭義単調増加、f(0) = 0なる関数で、a,b>0とすると、

[math] ab \le \int ^a _0 f(x) \ dx + \int ^b _0 f^{-1} (x) \ dx [/math]

が成り立つ。等号はb=f(a)のときに限る。

f(x)=x^p-1に適用すれば冒頭のヤングの不等式が得られる。

1 ≤ p,q ≤ ∞ かつ 1/r = 1/p + 1/q - 1 ≥ 0 とし、f を L^p(Rⁿ) 、g を L^q(Rⁿ) の元とする。このとき、f * g は L^r(Rⁿ) の元となり、

[math] \| f * g \| _{L^r} \le \| f \| _{L^p} \| g \| _{L^q} [/math]

が成り立つ。

とくに、p,q の片方を 1 にしたものが有用である。例えば q = 1 とすれば、f を L^p(Rⁿ) 、g を L¹(Rⁿ) の元としたときに、f * g は L^p(Rⁿ) の元となり、

[math] \| f * g \| _{L^p} \le \| f \| _{L^p} \| g \| _{L^1} [/math]

が成り立つことが分かる。これは f と g の畳み込みの L^p-ノルムが f の L^p-ノルムと g のL¹-ノルムの積で抑えられていることを表している。