ヤングの不等式
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ヤングの不等式(-ふとうしき、Young's inequality)とは、積とべき乗の和との間に成り立つ不等式であり、様々な分野で広く用いられている。
a,bを非負値な実数、1 < p,q < ∞を1/p + 1/q = 1 なる実数とする。このとき、
- [math]ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.[/math]
が成り立つ。等号が成立するのは ap = bq のときに限る。
とくに、これを変形した任意のε>0に対する式
- [math]ab \le \varepsilon a^p + \frac{1}{\varepsilon ^{\frac{1}{p-1}}} b^q.[/math]
もよく使われる。
Contents
一般化されたヤングの不等式
f(x)をx≧0で連続、狭義単調増加、f(0) = 0なる関数で、a,b>0とすると、
- [math] ab \le \int ^a _0 f(x) \ dx + \int ^b _0 f^{-1} (x) \ dx [/math]
が成り立つ。等号はb=f(a)のときに限る。
f(x)=xp-1に適用すれば冒頭のヤングの不等式が得られる。
畳み込みに関するヤングの不等式
1 ≤ p,q ≤ ∞ かつ 1/r = 1/p + 1/q - 1 ≥ 0 とし、f を Lp(Rn) 、g を Lq(Rn) の元とする。このとき、f * g は Lr(Rn) の元となり、
- [math] \| f * g \| _{L^r} \le \| f \| _{L^p} \| g \| _{L^q} [/math]
が成り立つ。
例
とくに、p,q の片方を 1 にしたものが有用である。例えば q = 1 とすれば、f を Lp(Rn) 、g を L1(Rn) の元としたときに、f * g は Lp(Rn) の元となり、
- [math] \| f * g \| _{L^p} \le \| f \| _{L^p} \| g \| _{L^1} [/math]
が成り立つことが分かる。これは f と g の畳み込みの Lp-ノルムが f の Lp-ノルムと g のL1-ノルムの積で抑えられていることを表している。
関連項目