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| − | ヤングの不等式(-ふとうしき、Young's inequality)とは、[[積]]と[[べき乗]]の[[加法|和]]との間に成り立つ[[不等式]]であり、様々な分野で広く用いられている。
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| − | ''a'',''b''を非負値な[[実数]]、1 < ''p'',''q'' < ∞を1/''p'' + 1/''q'' = 1 なる[[実数]]とする。このとき、
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| − | :<math>ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.</math>
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| − | が成り立つ。[[等号]]が成立するのは ''a''<sup>''p''</sup> = ''b''<sup>''q''</sup> のときに限る。
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| − | とくに、これを変形した任意のε>0に対する式
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| − | :<math>ab \le \varepsilon a^p + \frac{1}{\varepsilon ^{\frac{1}{p-1}}} b^q.</math>
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| − | もよく使われる。
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| − | == 一般化されたヤングの不等式 ==
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| − | ''f''(''x'')を''x''≧0で[[連続]]、[[単調関数|狭義単調増加]]、''f''(0) = 0なる[[関数 (数学)|関数]]で、''a'',''b''>0とすると、
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| − | :<math> ab \le \int ^a _0 f(x) \ dx + \int ^b _0 f^{-1} (x) \ dx </math> | |
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| − | が成り立つ。[[等号]]は''b''=''f''(''a'')のときに限る。
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| − | ''f''(''x'')=''x<sup>p-1</sup>''に適用すれば冒頭のヤングの不等式が得られる。
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| − | == 畳み込みに関するヤングの不等式 ==
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| − | 1 ≤ ''p'',''q'' ≤ ∞ かつ 1/''r'' = 1/''p'' + 1/''q'' - 1 ≥ 0 とし、''f'' を ''L<sup>p</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>) 、''g'' を ''L<sup>q</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>) の元とする。このとき、''f'' * ''g'' は ''L<sup>r</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>) の元となり、
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| − | :<math> \| f * g \| _{L^r} \le \| f \| _{L^p} \| g \| _{L^q} </math>
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| − | が成り立つ。
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| − | === 例 ===
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| − | とくに、''p'',''q'' の片方を 1 にしたものが有用である。例えば ''q'' = 1 とすれば、''f'' を ''L<sup>p</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>) 、''g'' を ''L<sup>1</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>) の元としたときに、''f'' * ''g'' は ''L<sup>p</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>) の元となり、
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| − | :<math> \| f * g \| _{L^p} \le \| f \| _{L^p} \| g \| _{L^1} </math>
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| − | が成り立つことが分かる。これは ''f'' と ''g'' の[[畳み込み]]の ''L<sup>p</sup>''-ノルムが ''f'' の ''L<sup>p</sup>''-ノルムと ''g'' の''L<sup>1</sup>''-ノルムの積で抑えられていることを表している。
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| − | == 関連項目 ==
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| − | *[[不等式]]
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| − | *[[コーシー・シュワルツの不等式]]
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| − | *[[ヘルダーの不等式]]
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| − | *[[ミンコフスキーの不等式]]
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| − | *[[畳み込み]]
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| − | {{DEFAULTSORT:やんくのふとうしき}}
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| − | [[Category:不等式]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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| − | {{Math-stub}}
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