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| − | '''ミレニアム懸賞問題'''（ミレニアムけんしょうもんだい、{{Lang-en-short|millennium prize problems}}）とは、[[アメリカ合衆国|アメリカ]]の[[クレイ数学研究所]]によって[[2000年]]に発表された100万ドルの[[懸賞金]]がかけられている7つの問題のことである。そのうち1つは解決済み、6つは2015年8月末の時点で[[数学上の未解決問題|未解決]]である。'''ミレニアム賞問題'''、'''ミレニアム問題'''とも呼ばれる。 | + | '''ミレニアム懸賞問題'''（ミレニアムけんしょうもんだい、{{Lang-en-short|millennium prize problems}}） |
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| − | == 概要 ==
| + | 2000年に米国のクレイ数学研究所が懸賞金を付けると発表した、数学上の七つの未解決問題。解決した者には、1問につき100万ドルの賞金が贈られる。ミレニアム懸賞問題。ミレニアム賞問題。 |
| − | これらの問題は、それぞれの分野で非常に重要かつ難しい問題である<ref name ="jaffe2006">{{Harvnb|Jaffe|2006}}</ref>。
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| − | 賞金を得るためには、査読つきの専門雑誌に掲載された後、二年間の経過期間を経て解決が学界に受け入れられたことが確認されなくてはならない<ref name ="jaffe2006"></ref>。なお、P≠NPとナビエ-ストークス方程式については、肯定的・否定的のいずれの解決に対しても賞金が与えられるが、他の問題については、否定的な解決は、それが問題の実効的な解決であるとみなされる場合に限り賞金が与えられる。否定的な解決であっても問題が修正を加えられた上で生き残る場合は、賞金は与えられない<ref name ="carlson2006">{{Harvtxt|Jaffe|Wiles|2006}} の Rules for the Millennium Prizes の章を参照</ref><ref>{{Harvnb|CMI|2013}}</ref>。
| + | P≠NP予想・ホッジ予想・ポアンカレ予想・リーマン予想・ヤンミルズ理論と質量ギャップ問題・ナビエストークス方程式の解の存在と滑らかさ・BSD予想の七つ。ポアンカレ予想はロシアのグレゴリー＝ペレルマンによって解決されたが、ペレルマンは賞金の受け取りを拒否している。 |
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| − | 7つの予想のうち、ポアンカレ予想については2002年から2003年にかけて[[グリゴリー・ペレルマン]]によりこれを証明したとする3つのプレプリント（専門誌未査読の論文）が発表された。この証明は複数の数学者による4年の検証を経て正しいものと認められ、2010年3月18日にクレイ数学研究所はペレルマンの受賞を発表した<ref>{{Harvnb|Carlson|2010}}</ref>。ただし、ペレルマンはこの受賞を拒否しており、彼に与えられる賞金100万ドルは数学界へ貢献するかたちで使われることになると発表している。
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| − | == 一覧 ==
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| − | *[[ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題]] (Yang–Mills and Mass Gap)
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| − | <blockquote style="padding:1ex; border:2px solid #808080; background:#ffffff">
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| − | 任意のコンパクトな単純ゲージ群 G に対して、非自明な量子ヤン・ミルズ理論が {{math|''''R'''<sup>4</sup>}} 上に存在し、質量ギャップ {{math|Δ > 0}} を持つことを証明せよ。
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| − | </blockquote>
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| − | *[[リーマン予想]] (Riemann Hypothesis)
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| − | <blockquote style="padding:1ex; border:2px solid #808080; background:#ffffff">
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| − | [[リーマンゼータ関数]] {{math|''ζ''(''s'')}} の非自明な零点 {{mvar|s}} は全て、実部が {{math|1/2}} の直線上に存在する。
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| − | </blockquote>
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| − | *[[P≠NP予想]] (P vs NP Problem)
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| − | <blockquote style="padding:1ex; border:2px solid #808080; background:#ffffff">
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| − | 計算複雑性理論（計算量理論）におけるクラスPとクラスNPが等しくない。
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| − | </blockquote>
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| − | *[[ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ]] (Navier–Stokes Equation)
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| − | <blockquote style="padding:1ex; border:2px solid #808080; background:#ffffff">
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| − | 3次元空間と（1次元の）時間の中で、初期速度を与えると、ナビエ–ストークス方程式の解となる速度ベクトル場と圧力のスカラー場が存在して、双方とも滑らかで大域的に定義されるか。
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| − | </blockquote>
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| − | *[[ホッジ予想]] (Hodge Conjecture)
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| − | <blockquote style="padding:1ex; border:2px solid #808080; background:#ffffff">
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| − | 複素解析多様体のある[[ホモロジー]]類は、代数的な[[ド・ラームコホモロジー]]類であろう、つまり、部分多様体のホモロジー類の[[ポアンカレ双対]]の和として表されるようなド・ラームコホモロジー類であろう。
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| − | </blockquote>
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| − | *'''[[ポアンカレ予想]]''' (Poincaré Conjecture) - グリゴリー・ペレルマンにより解決済。
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| − | <blockquote style="padding:1ex; border:2px solid #808080; background:#ffffff">
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| − | [[単連結]]な3次元[[閉多様体]]は[[3次元球面]] {{math|''S''<sup>3</sup>}} に[[同相]]である。
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| − | </blockquote>
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| − | *[[バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想]] (BSD予想、Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)
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| − | <blockquote style="padding:1ex; border:2px solid #808080; background:#ffffff">
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| − | 楕円曲線E上の有理点と無限遠点Oのなす有限生成アーベル群の階数（ランク）が、EのL関数 L(E, s) のs=1における零点の位数と一致する。
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| − | </blockquote>
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| − | == 脚注 ==
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| − | {{reflist}}
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| − | == 参考文献 ==
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| − | *{{Citation|last=Carlson|first=James|date=19 March 2010|url=http://www.claymath.org/sites/default/files/millenniumprizefull.pdf|format=PDF|title=First Clay Mathematics Institute Millennium Prize Announced Today Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture a Awarded to Dr. Grigoriy Perelman|publisher=Clay Mathematics Institute|language=英語|accessdate=2013-12-15}}
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| − | *{{Citation|author=CMI|date=13 December 2013|url=http://www.claymath.org/millennium-problems/rules-millennium-prizes|title=Rules for the Millennium Prizes|publisher=Clay Mathematics Institute|language=英語|accessdate=2013-12-15|ref={{Harvid|CMI|2013}}}}
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| − | *{{Citation|last=Jaffe|first=Arthur M.|author-link=アーサー・M・ジャフィ|year=2006|month=6|title=The Millennium Grand Challenge in Mathematics|journal=Notices of AMS|publisher=American Mathematical Society|language=英語|pages=652-660|volume=63|issue=6|url=http://www.ams.org/notices/200606/fea-jaffe.pdf|format=PDF}}
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| − | *{{Citation|editor1-last=Carlson|editor1-first=James|editor1-link=ジェームズ・カールソン|last1=Jaffe|first1=Arthur|author1-link=アーサー・ジャフィ|last2=Wiles|first2=Andrew|author2-link=アンドリュー・ワイルズ|year=2006|title=The Millennium Prize Problems|publisher=American Mathematical Society|language=英語|edition=Hardcover|isbn=978-0-8218-3679-8|url=http://www2.maths.ox.ac.uk/cmi/library/monographs/MPP.pdf}}
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| − | == 関連文献 ==
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| − | *{{Cite book|和書|author=[[キース・デブリン]]|others=[[山下純一]] 訳|date=2004-08-25|title=興奮する数学 世界を沸かせる7つの未解決問題|publisher=岩波書店|isbn=4-00-005387-6|url=http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/6/0053870.html|ref={{Harvid|デブリン|山下|2004}}}} - 原タイトル：''The millennium problems.''
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| − | *{{Cite book|和書|editor=[[数学セミナー]]編集部 編|authorlink=|year=2010|month=7|title=ミレニアム賞問題 7つの未解決問題はどうなったか？|series=数学セミナー増刊|publisher=日本評論社|url=http://www.nippyo.co.jp/book/5352.html|ref={{Harvid|数学セミナー編集部|2010}}}}
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| − | *{{Cite book|和書|author=[[一松信]] ほか|year=2002|month=10|title=数学七つの未解決問題 あなたも100万ドルにチャレンジしよう！|publisher=森北出版|isbn=4-627-01961-0|url=http://www.morikita.co.jp/books/book/150|ref={{Harvid|一松ほか|2002}}}}
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| − | *{{Cite journal|和書|author=一松信|year=2011|month=4|title=ミレニアム賞問題の経緯|journal=数学セミナー|volume=50|issue=4（通号 595）|pages=21-25|publisher=日本評論社|issn=0386-4960|ref={{harvid|一松|2011}}}}
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| − | == 関連項目 ==<!--項目の50音順-->
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| − | *[[ナビエ-ストークスの式]]
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| − | *[[ヒルベルト]]
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| − | *[[ヒルベルトの23の問題]]
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| − | *[[ミレニアム]]
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| | == 外部リンク == | | == 外部リンク == |
| | *{{Official|http://www.claymath.org/millennium-problems|name=Millennium Prize Problems}} | | *{{Official|http://www.claymath.org/millennium-problems|name=Millennium Prize Problems}} |
| | {{ミレニアム懸賞問題}} | | {{ミレニアム懸賞問題}} |
| − | | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| | {{デフォルトソート:みれにあむけんしようもんたい}} | | {{デフォルトソート:みれにあむけんしようもんたい}} |
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