ビアンキ群

数学において、ビアンキ群 (Bianchi group) は

[math]\operatorname{PSL}_2(\mathcal{O}_d)[/math]

という形の群である。ただし d は平方因子を持たない正の整数である。PSL は射影特殊線型群を表し、[math]\mathcal{O}_d[/math] は虚二次体 Q(√−d) の整数環である。

この群は、最初に Bianchi (1892) により、今ではクライン群と呼ばれている PSL₂(C) の離散部分群の自然なクラスとして、研究された。

PSL₂(C) の部分群として、ビアンキ群は、3次元双曲空間 H³ の向き付けを保つ等長変換として作用する。商空間 [math]M_d = \operatorname{PSL}_2(\mathcal{O}_d) \backslash \mathbb{H}^3[/math] は有限の体積を持つ非コンパクトな双曲的 3 次元多様体であり、ビアンキ多様体とも呼ばれる。基礎体 Q(√−d) のデデキントゼータ函数を用いた体積の正確な公式は、アンベル (Humbert) により次のように計算された。D を Q(√−d) の判別式とし、[math]\Gamma = \operatorname{SL}_2(\mathcal{O}_d)[/math] を テンプレート:Mathbf への不連続な作用とすると、

[math]\operatorname{vol}(\Gamma \backslash \mathbb{H}) = \frac{|D|^{3/2}}{4\pi^2} \, \zeta_{\mathbb{Q}(\sqrt{-d})}(2)[/math]

となる。M_d のカスプ全体の集合は、Q(√−d) の類群と全単射の対応がつく。任意の非コンパクトな数論的クライン群は、ビアンキ群と弱通約的 (weakly commensurable) であることがよく知られている。

参考文献

• Bianchi, Luigi (1892). “Sui gruppi di sostituzioni lineari con coefficienti appartenenti a corpi quadratici immaginarî”. Mathematische Annalen (Berlin/Heidelberg: Springer) 40: 332–412. doi:10.1007/BF01443558. ISSN 0025-5831. JFM 24.0188.02. LCCN 28024764. OCLC 223702365. 
• (November 25, 1997) Groups Acting On Hyperbolic Spaces, Springer Monographs in Mathematics. Springer Verlag. ISBN 3-540-62745-6. OCLC 851372121. 
• (July 17, 1989) Algebraic theory of the Bianchi groups, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. New York: Marcel Dekker Inc.. ISBN 978-0-8247-8192-7. OCLC 804027914. 
• テンプレート:Springer
• (November 14, 2002) The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds, Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98386-4. OCLC 936525755. 

外部リンク

• Allen Hatcher, Bianchi Orbifolds