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| − | [[圏論]]において、カテゴリーが'''デカルト閉'''（デカルトへい、{{lang-en|''cartesian closed''}}）であるとは、大雑把に言えば任意の二つの対象の[[直積 (圏論)|直積]]上で定義される[[射 (圏論)|射]]が直積因子の一方で定義される射と自然に同一視できることである。デカルト閉な圏は[[ラムダ計算]]の自然な設定ができるという点で[[数理論理学]]および[[プログラミング]]の理論において特に重要である。デカルト閉圏の概念は[[モノイダル圏|モノイド圏]]に一般化される（[[モノイダル閉圏|モノイド閉圏]]を参照）。
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| − | == 定義 ==
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| − | 圏 ''C'' がデカルト閉であるとは、以下の三条件
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| − | * ''C'' は[[終対象]]を持つ。
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| − | * ''C'' の任意の二対象 ''X'', ''Y'' に対し、''C'' はそれらの[[直積 (圏論)|直積]] ''X'' × ''Y'' を対象に持つ。
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| − | * ''C'' の任意の二対象 ''Y'', ''Z'' に対し、''C'' はそれらの[[冪対象]] ''Z''<sup>''Y''</sup> を対象に持つ。
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| − | が全て満たされることをいう。上ふたつの条件は、組み合わせて「''C'' の対象からなる任意の有限族（空でも構わない）に対し、それらの直積対象が ''C'' に存在する」という一つの条件に読み替えることができる。これは、圏における直積が自然な[[結合法則|結合性]]をもつことと、圏における[[空積]]はその圏の終対象となることとに拠る。
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| − | 3番目の条件は圏 ''C'' の任意の対象 ''Y'' に対して、関手 – × ''Y''（すなわち、''C'' から ''C'' への関手であって、任意の対象 ''X'' に対し ''X'' × ''Y'' を対応させ、任意の射 φ に対し φ × id<sub>''Y''</sub> を対応させるもの）が[[右随伴]] –''Y'' を持つこと仮定することに同値である。これはまた、[[hom-集合]]の間に[[双射]]
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| − | :<math>\mathrm{Hom}(X\times Y,Z) \cong \mathrm{Hom}(X,Z^Y)</math>
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| − | で ''X'' と ''Z'' の両方に関して[[自然変換]]となっているものが存在することとも言い換えられる。
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| − | 任意の[[スライス圏]]がデカルト閉であるような圏は、'''局所デカルト閉''' {{lang|en|(''locally cartesian closed'')}} であるという。
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| − | == 例 ==
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| − | デカルト閉圏の例として以下のようなものが挙げられる。
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| − | * 集合全体が[[写像]]を射として成す、集合の圏 '''Set''' はデカルト閉である。この圏における直積 ''X'' × ''Y'' は ''X'' と ''Y'' との直積集合、冪対象 ''Z''<sup>''Y''</sup> は ''Y'' から ''Z'' への写像全体の成す配置集合である。随伴性は以下の事実<div style="margin: 1ex 0 2ex 2em">写像 ''f'': ''X'' × ''Y'' → ''Z'' はそれが誘導する写像 ''g'' : ''X'' → ''Z''<sup>''Y''</sup> (''g''(''x'')(''y'') = ''f''(''x'',''y'') for all ''x'' ∈ ''X'', ''y'' ∈ ''Y'') と自然に同一視できる。</div>によって表される。
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| − | * [[有限集合]]が写像を射として成す、有限集合の圏も同じ理由でデカルト閉である。
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| − | * ''G'' を[[群 (数学)|群]]とするとき、[[群作用|''G''-集合]]全体の成す圏もデカルト閉である。''Y'', ''Z'' をふたつの ''G''-集合とするとき、冪対象 ''Z''<sup>''Y''</sup> は ''Y'' から ''G'' への配置集合に ''G'' の作用を (''g''.''F'')(''y'') = ''g''.(F(''g''<sup>−1</sup>.y)) (''g'' ∈ ''G'', ''F'': ''Y'' → ''Z'', ''y'' ∈ ''Y'') によって定めたものである。
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| − | * 有限 ''G''-集合の圏もやはりデカルト閉圏になる。
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| − | * 小さい圏が関手を射として成す、圏の圏 '''Cat''' もデカルト閉圏である。冪対象 ''C''<sup>''D''</sup> は ''D'' から ''C'' への関手全体が[[自然変換]]を射として成す[[関手圏]]で与えられる。
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| − | * ''C'' が[[小さい圏]]ならば、''C'' から集合の圏への共変関手が自然変換を射として成す[[関手圏]] '''Set'''<sup>''C''</sup> はデカルト閉である。''F'', ''G'' を ''C'' から '''Set''' への関手とすると、冪対象 ''F''<sup>''G''</sup> は、''C'' の任意の対象 ''X'' に対して (''X'', –)× ''G'' から ''F'' への自然変換全体の成す集合を対応させる関手で与えられる。
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| − | ** 上で述べた ''G''-集合の圏の例は関手圏の特別の場合と見ることができる。実際、任意の群を唯一つの対象を持つ圏と見なせば、''G''-集合はこの圏から集合の圏 '''Set''' への関手に他ならない。
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| − | ** 有向グラフの圏も関手圏であるから、デカルト閉圏である。
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| − | * [[代数的位相幾何学]]において、デカルト閉圏の連帯は特に簡単である。[[位相空間]]全体が[[連続写像]]をに関して成す圏も[[可微分多様体]]が[[滑らかな写像]]に関して成す圏もデカルト閉圏とはならない。代わりとなる圏は既に考えられていて、[[コンパクト生成ハウスドルフ空間]]の圏はデカルト閉である。また、[[Frölicher空間]]の圏も同様である。
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| − | * [[順序集合論]]において、[[完備半順序集合]] (''cpo'') は自然な位相として[[スコット位相]]を持ち、その連続写像の全体がデカルト閉圏を成す（すなわち、その対象は ''cpo'' それ自体のみであり、[[スコット連続]]写像を射とするような圏を考える）。[[カリー化]]と「[[適用]]」はともにスコット位相に関して連続であり、カリー化は適用を伴って随伴を導く<ref>H.P. Barendregt, ''The Lambda Calculus'', (1984) North-Holland ISBN 0-444-87508-5 ''(See theorem 1.2.16)''</ref>。
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| − | * [[ハイティング代数]]はデカルト閉な[[半順序集合]]である。[[位相空間]]から重要な例が生じる。''X'' を[[位相空間]]とすると、''X'' の[[開集合]]の全体を対象とする圏 O(''X'') が考えられる。その対象 ''U'' から ''V'' への射は、''U'' が ''V'' の部分集合であるときただ一つのみ存在し、そうでないときには存在しないものとして定められる。この包含関係による半順序集合はデカルト閉であり、この圏における ''U'' と ''V'' との直積は ''U'' と ''V'' との[[共通部分]]によって与えられ、冪対象 ''U''<sup>''V''</sup> は ''U'' ∪(''X''\''V'') の[[開核]]である。
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| − | デカルト閉ではない圏の例には以下のようなものが挙げられる。
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| − | * 固定された[[可換体|体]]上の[[ベクトル空間]]全体の成す圏や有限次元ベクトル空間の圏はともにデカルト閉ではない。これらの圏は「直和」と呼ばれる直積は持つけれども、直積関手の右随伴が存在しない（これらの圏は対称[[モノイド閉圏]]ではある。ベクトル空間の間の線型写像全体の成す集合は再びベクトル空間をなすという意味で閉であり、直積の代わりに[[テンソル積]]を考えれば Hom-集合の間に同様の同型が存在する）。
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| − | * [[アーベル群]]の圏も同様の理由でデカルト閉ではない。
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| − | == 応用 ==
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| − | デカルト閉圏において、「二変数関数」（つまり、射 ''f'': ''X'' × ''Y'' → ''Z''）は常に「一変数関数」（つまり射 λ''f'': ''X'' → ''Z''<sup>''Y''</sup>）として表現できる。[[計算機科学]]における応用ではこれは[[カリー化]]として知られ、単純型付[[ラムダ計算]]の任意のデカルト閉圏における解釈を実現に導く。
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| − | [[カリー＝ハワード同型対応#カリー＝ハワード＝ランベック対応|カリー-ホワード-ランベック対応]]は[[直観主義論理]]、単純型付ラムダ計算、デカルト閉圏の間の深い同型を与える。
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| − | [[トポス (数学)|トポス]]という種類のデカルト閉圏は、数学に対する従来の[[集合論]]に替わる一般的な枠組みとして提示された。
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| − | 高名な計算幾何学者[[ジョン・バッカス]]は（後から考えるとデカルト閉圏の内部言語にどこか似たところのある）無変数記法あるいは[[関数レベルプログラミング]]を提唱した。[[Categorical Abstract Machine Language|CAML]]はデカルト閉圏のさらに意識的なモデルである。
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| − | == 方程式論 ==
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| − | 任意のデカルト閉圏において（冪記法を用いて）、(''X''<sup>''Y''</sup>)<sup>''Z''</sup> と (''X''<sup>''Z''</sup>)<sup>''Y''</sup> は任意の対象 ''X'', ''Y'', ''Z'' に対して[[同型]]である。これを等式の形で
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| − | :(''x''<sup>''y''</sup>)<sup>''z''</sup> = (''x''<sup>''z''</sup>)<sup>''y''</sup>.
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| − | と書き表す。任意のデカルト閉圏において、ほかに有効な等式にはどんなものがあるだろうか。これについては、以下の公理に従って論理的にすべての有効な等式を計算することができる<ref>S. Soloviev. "Category of Finite Sets and Cartesian Closed Categories", Journal of Soviet Mathematics, 22, 3 (1983)</ref>。
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| − | * ''x'' ×(''y'' × ''z'') = (''x'' × ''y'')× ''z''
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| − | * ''x'' × ''y'' = ''y'' × ''x''
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| − | * ''x'' × 1 = ''x'' （1 は ''C'' の終対象）
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| − | * 1<sup>''x''</sup> = 1
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| − | * ''x''<sup>1</sup> = ''x''
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| − | * (''x''×''y'')<sup>''z''</sup> = ''x''<sup>''z''</sup> × ''y''<sup>''z''</sup>
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| − | * (''x''<sup>''y''</sup>)<sup>''z''</sup> = ''x''<sup>(''y'' × ''z'')</sup>
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| − | == 脚注 ==
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| − | <references/>
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| − | == 参考文献 ==
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| − | * {{citation | author=F. William Lawvere | year=1963 | title=Functorial Semantics of Algebraic Theories | url=http://www.pnas.org/content/50/5/869.full.pdf }}
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| − | * {{citation | author=F. William Lawvere | year=2004 | title=Functorial Semantics of Algebraic Theories and Some Algebraic Problems in the context of Functorial Semantics of Algebraic Theories | url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf}}
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| − | * {{citation | author=F. William Lawvere | year=1964 | title=An Elementary Theory of the Category of Sets | url=http://www.pnas.org/content/52/6/1506.full.pdf }}
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| − | * {{citation | author=F. William Lawvere | year=2005 | title=An elementary theory of the category of sets (long version) with commentary | url=http://tac.mta.ca/tac/reprints/articles/11/tr11.pdf }}
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| − | * {{citation | author=F. William Lawvere | year=2006 | title=Adjointness in foundations, with author commentary | url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/16/tr16.pdf }}
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| − | * {{Cite book | author=J. Lambek, P.J. Scott | year=1988 |title=Introduction to Higher-Order Categorical Logic }}
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| − | * {{citation | author=疋田 輝雄 | title=カテゴリー理論とプログラミング : カルテシアン閉カテゴリー | year=1991 | url=http://ci.nii.ac.jp/naid/110003743607 }}
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| − | * {{citation | author=井田 哲雄 | title=ラムダ計算とそのモデル「カルテシアン閉カテゴリ」によるCOMMON LISPの解釈と新しい処理系 | year=1987 | url=http://ci.nii.ac.jp/naid/110003743465 }}
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| − | === 史学的観点からのもの ===
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| − | * {{cite book |和書|author=A.F. Monna |editor=鶴見 和之 , 新井 理生 (訳)|title=現代数学発展史―現代数学の進展 方法・概念・思想の変遷 | publisher=東京電機大学出版局 |year=1993 |url=http://books.google.co.jp/books?id=JnVcwf3OH5cC&printsec=frontcover&hl=ja&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false}} p.61-63
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| − | == 関連項目 ==
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| − | * [[束論]]
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| − | * [[半順序集合]]
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| − | * [[表示的意味論]]
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| − | * [[領域理論]]
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| − | * [[層 (数学)]]
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| − | * [[圏論]]
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| − | === 関連人物 ===
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| − | * [[ウィリアム・ローヴェア]]
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| − | * [[デイナ・スコット]]
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| − | [[Category:圏論]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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