スキューズ数

スキューズ数（スキューズすう、Skewes number）は、南アフリカの数学者スタンレー・スキューズが素数の個数に関する研究において用いた、極めて大きな数である。あるいは、π(x) > li(x) を満たす最小の自然数 x を指すこともある。ここに、π(x) は x 以下の素数の個数、li(x) は対数積分である。後者の意味でのスキューズ数は、10¹⁴ から 1.3983 × 10³¹⁶ の間にあることが知られているが、正確な値は不明である。

歴史

素数定理によれば、π(x) は漸近的に li(x) に等しい。実際の値を比較すると、現実的に計算が実行可能な程度に x が小さいあいだは常に li(x) の方が大きいように見える。このことから、π(x) > li(x) となる x が存在するか、という問題が自然に考えられる。ガウスやリーマンはそのような x は存在しない、と予想していた。スキューズの指導教官であるリトルウッドは、1914年の論文において、そのような x が存在することのみならず、π(x) − li(x) の符号は無限回変わることを示した。すなわち、π(x) と li(x) は無限回抜きつ抜かれつするのである。しかし、リトルウッドの証明は、いつ初めて π(x) が li(x) を追い抜くか、という見積もりを与えるようなものではなかった。

スキューズは、1933年の論文において、リーマン予想が真であるとの仮定の下に、π(x) > li(x) となる x は、次の数以下に存在することを証明した。

[math]e^{e^{e^{79}}} \left( \lt 10^{10^{10^{34}}} \right)[/math]

これがオリジナルのスキューズ数であり、第一スキューズ数とも呼ばれる。

後にグラハム数などにその座を譲ることになるが、当時としては意味のある数学的議論に登場する最大の数であった。なお、この見積もりは非常に大雑把なものであり、後述のように評価は大幅に改良される。

さらに、スキューズは1955年には、リーマン予想が真であると仮定することなしに、x は次の数以下に存在することを証明した。

[math]e^{e^{e^{e^{7.705}}}} \left( \lt 10^{10^{10^{964}}} \right)[/math]

これは第二スキューズ数と呼ばれる。よりシンプルな表現の近似 [math]10^{10^{10^{10^{3}}}}[/math] も第二スキューズ数の近似値としてしばしば用られる。

評価の改良

スキューズの与えたこれらの見積もりは非常に大きいため、より小さな評価を与える研究が進められた。それは、コンピュータを用いてリーマンゼータ関数の零点を計算することによって行われる。Lehman (1966) が示したところによると、1.53 × 10¹¹⁶⁵ から 1.65 × 10¹¹⁶⁵ の間に π(x) > li(x) となるような整数 x が連続して 10⁵⁰⁰ 個以上ある。H. J. J. te Riele (1987) は上からの評価を約 7 × 10³⁷⁰ にまで、Bays & Hudson (2000) は約 1.3983 × 10³¹⁶ にまで下げ、その付近に π(x) > li(x) なる x が存在することを示した。

一方、Rosser & Schoenfeld (1962) は、x < 10⁸ においては常に π(x) < li(x) であることを示した。この記録は Brent (1975) によって 8 × 10¹⁰ にまで、Kotnik (2008) によって 10¹⁴ にまで更新された。

正確にいつ初めて π(x) が li(x) が追い抜くのかは、未解決の問題である。それどころか、π(x) > li(x) となる具体的な x の値はひとつも知られていない。

Wintner (1941) は、π(x) > li(x) なる x の割合は正であることを示し、Rubinstein & Sarnak (1994) はその割合がおよそ 0.00000026 であることを示した。

参考文献

• Bays, C.; Hudson, R. H. (2000), “A new bound for the smallest x with π(x) > li(x)”, Mathematics of Computation 69 (231): 1285--1296, テンプレート:MR, http://www.ams.org/mcom/2000-69-231/S0025-5718-99-01104-7/S0025-5718-99-01104-7.pdf 
• Brent, R. P. (1975), “Irregularities in the distribution of primes and twin primes”, Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 29 (129): 43--56, doi:10.2307/2005460, テンプレート:MR, http://jstor.org/stable/2005460 
• Chao, Kuok Fai; Plymen, Roger (2005), “A new bound for the smallest x with π(x) > li(x)”, International Journal of Number Theory 6: 681--690, doi:10.1142/S1793042110003125, http://arXiv.org/abs/math/0509312 
• Kotnik, T. (2008), “The prime-counting function and its analytic approximations”, Advances in Computational Mathematics 29: 55–70, doi:10.1007/s10444-007-9039-2 
• Lehman, R. Sherman (1966), “On the difference π(x) － li(x)”, Acta Arith. 11: 397--410, テンプレート:MR 
• Littlewood, J. E. (1914), “Sur la distribution des nombres premiers”, Comptes Rendus 158: 1869–1872 
• Skewes, S. (1933), “On the difference π(x) − Li(x)”, Journal of the London Mathematical Society 8: 277–283 
• Skewes, S. (1955), “On the difference π(x) − Li(x) (II)”, Proceedings of the London Mathematical Society 5: 48–70, テンプレート:MR 
• te Riele, H. J. J. (1987), “On the sign of the difference π(x) − Li(x)”, Mathematics of Computation 48 (177): 323–328, テンプレート:MR, http://links.jstor.org/sici?sici=0025-5718%28198701%2948%3A177%3C323%3AOTSOTD%3E2.0.CO%3B2-N 
• Rosser, J. B.; Schoenfeld, L. (1962), “Approximate formulas for some functions of prime numbers”, Illinois Journal of Mathematics 6: 64–94, テンプレート:MR 
• Rubinstein, M.; Sarnak, P. (1994), “Chebyshev's bias”, Experiment. Math. 3 (3): 173–197, テンプレート:MR, http://projecteuclid.org/euclid.em/1048515870 
• Wintner, A. (1941), “On the distribution function of the remainder term of the prime number theorem”, Amer. J. Math. (The Johns Hopkins University Press) 63 (2): 233–248, doi:10.2307/2371519, JSTOR 10.2307/2371519, テンプレート:MR, http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9327%28194104%2963%3A2%3C233%3AOTDFOT%3E2.0.CO%3B2-N 

関連項目

• 巨大数
• 数の比較
• リーマンの素数公式

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Skewes Number”. MathWorld（英語）.