ja>Gtorew |
|
| (同じ利用者による、間の1版が非表示) |
| 1行目: |
1行目: |
| − | {{要改訳}}
| + | '''ゴールドバッハの予想'''（[[英語]]:Goldbach's conjecture） |
| − | {{see also|弱いゴールドバッハ予想}}
| |
| − | [[Image:Goldbach partitions of the even integers from 4 to 50 rev4b.svg|thumb=Goldbach_partitions_of_the_even_integers_from_4_to_28_300px.png|320px|4 から 28 までの偶数を 2つの素数の和としてあらわした。ゴールドバッハは全ての 2よりも大きい偶数が少なくとも一通りで 2つの素数の和として表すことができることを予想した。]]
| |
| − | [[Image:GoldbachConjecture.gif|right|thumb|320px|偶数を二つの素数で表す方法が何通りあるか表したグラフ。]]
| |
| − | '''ゴールドバッハの予想'''（[[英語]]:Goldbach's conjecture）とは、次のような[[加法]]的[[数論|整数論]]上の[[数学上の未解決問題|未解決問題]]の1つである。'''ゴールドバッハ予想'''、'''ゴルドバッハの予想'''とも<ref>{{Cite web |url = https://kotobank.jp/word/ゴールドバッハの予想-686029 |title = デジタル大辞泉 ゴールドバッハの予想 |publisher = コトバンク |accessdate = 2017-12-30 }}</ref>。 | |
| − | :全ての 2 よりも大きな偶数は2つの素数の和として表すことができる<ref>{{MathWorld|title=Goldbach Number|urlname=GoldbachNumber}}</ref>。
| |
| − | この予想は、[[ウェアリングの問題]]などと共に古くから知られている。4 × 10<sup>18</sup> まで成立することが証明<ref>[http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach.html “Goldbach conjecture verification"]</ref>されていて、一般に正しいと想定されているが、多くの努力にもかかわらず未だに証明されていない。
| |
| − | <!---'''Goldbach's conjecture''' is one of the oldest and best-known [[unsolved problems in mathematics|unsolved problem]]s in [[number theory]] and in all of [[mathematics]]. It states:
| |
| | | | |
| − | :Every [[even and odd numbers|even]] [[integer]] greater than 2 can be expressed as the sum of two [[prime number|primes]].<ref>{{MathWorld|title=Goldbach Number|urlname=GoldbachNumber}}</ref>
| + | 整数論における素数についての未解決問題の一つ。「4以上のすべての偶数は二つの素数の和で表すことができる」というもの。ここでは同じ素数を2度使ってもよいとする。名称は18世紀半ば、プロイセンの数学者クリティアン＝ゴールドバッハがレオンハルト＝オイラーに宛てた書簡で述べたことに由来する。 |
| − | | |
| − | The conjecture has been shown to hold up through 4 × 10<sup>18</sup><ref>[http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach.html “Goldbach conjecture verification"]</ref> and is generally assumed to be true, but remains unproven despite considerable effort.-->
| |
| − | == 概要 ==
| |
| − | [[File:Letter Goldbach-Euler.jpg|thumb|320px|1742年6月7日の日付のゴルドバッハからオイラーに宛てた（ラテン語とドイツ語で書かれた）手紙<ref>''Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle'' (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, [http://books.google.com/books?id=OGMSAAAAIAAJ&pg=PA125 S. 125–129]</ref>]]
| |
| − | [[予想]]には、ほとんど同値ないくつかの述べ方があり、次のように述べることが多い：
| |
| − | : 4以上の全ての[[偶数]]は、二つの[[素数]]の和で表すことができる。
| |
| − | : 6以上の全ての偶数は、二つの奇素数の和で表すことができる。（4=2+2:偶素数同士の和）
| |
| − | このとき、同じ素数を2度使っても良いものとする。
| |
| − | | |
| − | 例えば、20までの偶数を奇素数の和で表す場合は、
| |
| − | <pre>
| |
| − | 6 = 3 + 3
| |
| − | 8 = 3 + 5
| |
| − | 10 = 7 + 3 = 5 + 5
| |
| − | 12 = 5 + 7
| |
| − | 14 = 3 + 11 = 7 + 7
| |
| − | 16 = 3 + 13 = 5 + 11
| |
| − | 18 = 5 + 13 = 7 + 11
| |
| − | 20 = 3 + 17 = 7 + 13
| |
| − | </pre>
| |
| − | のように、二つの奇素数の和で表すことができている。2012年現在、4×10<sup>18</sup>までの全ての偶数について成り立つことが、[[コンピュータ]]によって確かめられている。<ref>Tomás Oliveira e Silva, [http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach.html Goldbach conjecture verification]</ref>
| |
| − | | |
| − | ゴールドバッハの名を冠するのは、上と同値な次のような予想を、[[クリスティアン・ゴールドバッハ]]（Christian Goldbach, [[1690年]] - [[1764年]]）が[[レオンハルト・オイラー]]への書簡（[[1742年]]）で述べたことによる<ref>{{Citation |last=Goldbach |first=Christian |date=7 June 1742 |title=letter to Leonhard Euler (letter XLIII) |url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf }}</ref>。
| |
| − | : 5より大きな任意の[[自然数]]は、三つの素数の和で表せる。
| |
| − | これから上が導けるのは、偶数を三つの素数の和で表すと素数の一つは 2 になっているからである（奇数+奇数+奇数=奇数になる。和が偶数になるには、奇数+奇数+偶数か、偶数+偶数+偶数しかない）。
| |
| − | | |
| − | 多くの[[数学者]]は、[[素数定理|素数分布の確率]]に関する[[統計学]]的な観察から、この予想は正しいと考えている（偶数が大きければ大きいほど、二つの素数の和で表されるというのはより"ありそうな"ことなのである）。
| |
| − | | |
| − | 類似の予想として、「[[弱いゴールドバッハ予想]]」というものがある。これは5より大きい[[奇数]]は三つの素数の和で表せるという予想である。4より大きい偶数が二つの奇素数の和で表せるという「強いゴールドバッハ予想」が正しいならば、弱いゴールドバッハ予想も真である。これは
| |
| − | : <math>2n = p_1+p_2 \quad n>2</math>
| |
| − | ならば
| |
| − | : <math>2(n+1)+1 = p_1+p_2+3 \quad n>2 \,</math>
| |
| − | であることから明らかである。ここでp<sub>1</sub>およびp<sub>2</sub>は奇素数である。
| |
| − | | |
| − | また、[[一般化されたリーマン予想]]が正しいならば、弱いゴールドバッハ予想が導かれることが知られている<ref>{{Citation |doi=10.1090/S1079-6762-97-00031-0 |last=Deshouillers |first=J.-M. |last2=Effinger |first2=G. |last3=te Riele |first3=H. |last4=Zinoviev |first4=D. |lastauthoramp=yes |year=1997 |title=A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis |journal=Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. |volume=3 |issue= |pages=99–104 |url=http://www.ams.org/era/1997-03-15/S1079-6762-97-00031-0/S1079-6762-97-00031-0.pdf |issn= }}</ref>。
| |
| − | | |
| − | == 現在までの主な進歩 ==
| |
| − | * [[ノルウェー]]の数学者[[ヴィーゴ・ブルン|ブルン]]は1920年頃（いくつかの論文に分かれているため曖昧）、[[エラトステネスの篩]]を発展させた新しい篩法（sieve method）を用いて、十分大きなすべての偶数は、[[高々 (数学)|高々]]9つの素数の積であるような数の二つの和であることを証明した。
| |
| − | * [[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|ハーディ]]と[[ジョン・エデンサー・リトルウッド|リトルウッド]]は1923年に、[[L関数]]に対する一般化された[[リーマン予想]]（の若干弱い形を）を仮定して、全ての奇数 n ≧ n<sub>0</sub> が3個の素数の和となるような下限 n<sub>0</sub> が存在することを証明し、またその表現の個数の漸近公式を得た。また同様の仮定のもとにほとんどすべての偶数が二つの奇素数で表されること、すなわち例外的な数全体は零集合であることを証明。しかし偶数を二つの奇素数で表す仕方の数の漸近公式については予想するにとどまった。
| |
| − | * [[1930年]]に[[ソビエト連邦|ソビエト]]の数学者[[レフ・ゲンリホーヴィッチ・シュニレルマン|シュニレルマン]]は、2個の素数の和で表される数と0, 1からなる集合は正の[[シュニレルマン密度]]を持つことをブルンの篩を用いて初等的に示し、シュニレルマンの定理から、すべての自然数が高々 k 個の素数の和であるような、k が存在することを示した。
| |
| − | * [[1937年]]に[[ソビエト連邦|ソビエト]]の数学者{{仮リンク|イヴァン・ヴィノグラードフ|en|Ivan Matveyevich Vinogradov|label=ヴィノグラードフ}}は三素数の問題に関して、三角和の方法を用いて、一般化されたリーマン予想を仮定することなしに、上記のような定数 n<sub>0</sub> （現在、具体的にわかっている。<math>n_0=3^{3^{15}}</math>（Borozdin,1939）さらに良い評価として<math>n_0\approx 2 \times 10^{1346}</math>（Liu Ming-Chit and Wang Tian-Ze,2002））の存在を証明した。（[[ヴィノグラードフの定理]]参照）
| |
| − | * [[1938年]]頃、[[イギリス]]のエスターマン、[[ソビエト連邦|ソビエト]]の数学者チュダコフ、オランダの数学者ヴァン・デア・コルプトらは、それぞれ独立に、なんらの仮定もせずにほとんどすべての偶数は二つの奇素数の和であることを証明した。
| |
| − | * [[1947年]]、[[ハンガリー]]の数学者[[レーニ・アルフレード|レーニ]]は{{仮リンク|大きな篩い|en|large sieve}}という新しい方法を用いて、すべての自然数を、素数と高々 ''k'' 個の素数の積である数との和で表すことのできるような、''k'' が存在することを証明した。
| |
| − | * [[中華人民共和国|中国]]の数学者[[陳景潤]]は[[1978年]]までに、十分大きなすべての偶数は、素数と高々二つの素数の積であるような数との和で表されることを証明した。下界が山田智宏により与えられている。<ref>{{cite arXiv|last=Yamada |first=Tomohiro |eprint=1511.03409 |title=Explicit Chen's theorem |class=math.NT |date=2015-11-11}}</ref>
| |
| − | * [[1995年]]、フランスの数学者[[オリヴィエ・ラマレ|ラマレ]]はすべての偶数が高々6個の素数の和として表せることを証明した。
| |
| − | * [[2002年]]、{{仮リンク|ロジャー・ヒース＝ブラウン|en|Roger Heath-Brown|label=ヒース＝ブラウン}}と[[ヤン・クリストフ・シュラーゲ＝プフタ|シュラーゲ＝プフタ]]<!-- Jan-Christoph Schlage-Puchta -->は十分大きなすべての偶数は2個の素数と13個の2の冪の和で表され、一般化されたリーマン予想が正しいならば、十分大きなすべての偶数は2個の素数と7個の2の冪の和で表されることを示した。
| |
| − | * [[2009年]]、ゴールドバッハの予想に関する分散コンピューティングプロジェクト([[BOINC]])で[http://goldbach.pl/ Goldbach's Conjecture Project]が開始された。
| |
| − | | |
| − | ==発見的方法による評価==
| |
| − | [[Image:Goldbach-1000.svg|thumbnail|right|320px|4 ≤ n ≤ 1,000 である偶数 n に対し、2つの素数の和で表される表し方の数, {{OEIS|A002375}}]]
| |
| − | [[Image:Goldbach-1000000.png|thumbnail|right|320px|4 ≤ ''n'' ≤ 1,000,000 である偶数の n に対し、2つの素数の和で表される表し方の数]]
| |
| − | | |
| − | [[素数定理|素数の確率分布]]に焦点を当てた統計的な考察は、十分に大きな整数に対して（弱い形も強い形も両方とも）この予想を支持する非公式な情報をもたらしている。整数が大きくなればなるほど、2つ 3つの他の数の和で表すことが可能な組み合わせの数が多くなり、これらの表現が素数だけで和を表すことすくなくとも一つはより「ありそう」になっている。
| |
| − | | |
| − | {{仮リンク|発見的|en|heuristic}}(heuristic)な確率的な議論（ゴルドバッハ予想の強い形にたいする）の非常に厳密なバージョンは、次のようになっている。[[素数定理]]は、ランダムに選ばれた整数 m は、大まかには <math>1/\ln m\,\!</math> の確率で素数になる機会を持っている。従って n が大きな偶数であり m が 3 と n/2 の間の整数であれば、m と n − m が同時に素数である確率は、<math>1 \big / \big [\ln m \,\ln (n-m)\big ]</math> である。この発見的方法をつづけると、大きな偶数の n を大まかに次の確率で 2つの素数の和として表すことができる方法の全体の数を見積もることができる。
| |
| − | | |
| − | :<math>\sum_{m=3}^{n/2} \frac{1}{\ln m} {1 \over \ln (n-m)} \approx \frac{n}{2 \ln^2 n}.</math>
| |
| − | | |
| − | この量は n が増えるにつれて無限大に近づくので、大きな偶数を取ると 2つの素数の和として表すのでなく、実際は非常多くのそのような方法で表すことができることと見積もることができる。
| |
| − | <!---==Heuristic justification==
| |
| − | Statistical considerations which focus on the [[prime number theorem|probabilistic distribution of prime numbers]] present informal evidence in favour of the conjecture (in both the weak and strong forms) for [[sufficiently large]] integers: the greater the integer, the more ways there are available for that number to be represented as the sum of two or three other numbers, and the more "likely" it becomes that at least one of these representations consists entirely of primes.
| |
| − | | |
| − | [[Image:Goldbach-1000.svg|thumbnail|right|288px|Number of ways to write an even number ''n'' as the sum of two primes (4 ≤ ''n'' ≤ 1,000), {{OEIS|A002375}}]]
| |
| − | [[Image:Goldbach-1000000.png|thumbnail|right|288px|Number of ways to write an even number ''n'' as the sum of two primes (4 ≤ ''n'' ≤ 1,000,000)]]
| |
| − | | |
| − | A very crude version of the [[heuristic]] probabilistic argument (for the strong form of the Goldbach conjecture) is as follows. The [[prime number theorem]] asserts that an integer ''m'' selected at random has roughly a <math>1/\ln m\,\!</math> chance of being prime. Thus if ''n'' is a large even integer and ''m'' is a number between 3 and ''n''/2, then one might expect the probability of ''m'' and ''n'' − ''m'' simultaneously being prime to be <math>1 \big / \big [\ln m \,\ln (n-m)\big ]</math>. If one pursues this heuristic, one might expect the total number of ways to write a large even integer ''n'' as the sum of two odd primes to be roughly
| |
| − | | |
| − | :<math>\sum_{m=3}^{n/2} \frac{1}{\ln m} {1 \over \ln (n-m)} \approx \frac{n}{2 \ln^2 n}.</math>
| |
| − | | |
| − | Since this quantity goes to infinity as ''n'' increases, we expect that every large even integer has not just one representation as the sum of two primes, but in fact has very many such representations.-->
| |
| − | | |
| − | この発見的な議論は実際は少し不正確である。理由は、m と n − m が素数であるという事象が、互いに[[独立 (確率論)|統計的に独立]]であることを前提としているからである。例えば、m が奇数であれば、n − m もまた奇数であり、m が偶数であれば n − m もまた偶数であるから、（2を除き）奇数だけが素数でありうるから非自明な関係となるからである。同様にして、n が 3 で割り切れ m が既に 3 とはことなる素数であれば、n − m は 3 とは互に素であることとなり、このように一般の数よりも素数となる確率は少し小さくなる。このタイプの解析を注意深く行い、[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|ハーディ]]と[[ジョン・エデンサー・リトルウッド|リトルウッド]]は、1923年に（彼らの有名な'''ハーディ・リトルウッドの素数三重予想'''の一部として）任意の固定された c ≥ 2 に対し、大きな n が <math>p_1 \leq \cdots \leq p_c</math> である c 個の素数の和 <math>n=p_1+\cdots +p_c</math> と表される表し方の数は、{{仮リンク|漸近解析|label=漸近的に|en|asymptotic analysis}}に次に等しいであろうと予想した。
| |
| − | | |
| − | :<math> \left(\prod_p \frac{p \gamma_{c,p}(n)}{(p-1)^c}\right)
| |
| − | \int_{2 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_c: x_1+\cdots+x_c = n} \frac{dx_1 \cdots dx_{c-1}}{\ln x_1 \cdots \ln x_c}</math>
| |
| − | | |
| − | ここに、積は全ての素数 p を渡り、<math>\gamma_{c,p}(n)</math> は[[合同式]]の方程式
| |
| − | <math>n = q_1 + \cdots + q_c \mod p</math> の解の数である。ここで、<math>q_1,\ldots,q_c \neq 0 \mod p</math> は{{仮リンク|拘束条件|en|Constraint (mathematics)}}(constraint)である。この公式は、{{仮リンク|イワン・マッツヴェーヴィッチ・ヴィノグラードフ|label=ヴィノグラードフ|en|Ivan Matveevich Vinogradov}}の仕事から、c ≥ 3 に対して漸近的に成り立つことが厳密に証明された。しかし、<math>c=2</math> のときは依然として予想にすぎない。<math>c=2</math> には、上の公式は n が奇数のときは 0 に単純化され、n 偶数のときは、
| |
| − | | |
| − | :<math> 2 \Pi_2 \left(\prod_{p|n; p \geq 3} \frac{p-1}{p-2}\right) \int_2^n \frac{dx}{\ln^2 x}
| |
| − | \approx 2 \Pi_2 \left(\prod_{p|n; p \geq 3} \frac{p-1}{p-2}\right) \frac{n}{\ln^2 n}
| |
| − | </math>
| |
| − | | |
| − | となる。ここに <math>\Pi_2</math> は{{仮リンク|双子素数定数|en|twin prime constant}}(twin prime constant)であり、
| |
| − | | |
| − | :<math> \Pi_2 := \prod_{p \geq 3} \left(1 - \frac{1}{(p-1)^2}\right) = 0.6601618158\ldots</math>
| |
| − | | |
| − | と表される。この公式は'''拡張されたゴルドバッハ予想'''として知られている。強いゴルドバッハ予想は、実際、[[双子素数予想]]と非常に似ていて、2つの予想は大まかには同じくらいの難易度であろうと信じられている。2013年、プロヴァティディス他は、「親指の法則」という表現の数の下界についてレポートした。<ref>Provatidis C., Markakis E, and Markakis N. Rule of thumb bounds in Goldbach’s Conjecture, ''American Journal of Mathematical Analysis'', 2013 1 (1), pp. 8-13. doi: 10.12691/ajma-1-1-1; DOWNLOAD: http://www.sciepub.com/portal/downloads?doi=10.12691/ajma-1-1-2&filename=ajma-1-1-2.pdf.</ref>
| |
| − | | |
| − | ここに示されたゴルドバッハの分配函数は、上の方程式を見やすく表現したヒストグラムにして示すことができる。{{仮リンク|ゴルドバッハの彗星|en|Goldbach's comet}}(Goldbach's comet)を参照。<ref>Fliegel, Henry F.; Robertson, Douglas S.; "Goldbach's Comet: the numbers related to Goldbach's Conjecture”; Journal of Recreational Mathematics, v21(1) 1–7, 1989.</ref>
| |
| − | <!---This heuristic argument is actually somewhat inaccurate, because it assumes that the events of ''m'' and ''n'' − ''m'' being prime are [[statistical independence|statistically independent]] of each other. For instance, if ''m'' is odd then ''n'' − ''m'' is also odd, and if ''m'' is even, then ''n'' − ''m'' is even, a non-trivial relation because (besides 2) only odd numbers can be prime. Similarly, if ''n'' is divisible by 3, and ''m'' was already a prime distinct from 3, then ''n'' − ''m'' would also be [[coprime]] to 3 and thus be slightly more likely to be prime than a general number. Pursuing this type of analysis more carefully, [[G. H. Hardy|Hardy]] and [[John Edensor Littlewood|Littlewood]] in 1923 conjectured (as part of their famous ''Hardy–Littlewood prime tuple conjecture'') that for any fixed ''c'' ≥ 2, the number of representations of a large integer ''n'' as the sum
| |
| − | of ''c'' primes <math>n=p_1+\cdots +p_c</math> with <math>p_1 \leq \cdots \leq p_c</math> should be [[asymptotic analysis|asymptotically]] equal to
| |
| − | | |
| − | :<math> \left(\prod_p \frac{p \gamma_{c,p}(n)}{(p-1)^c}\right)
| |
| − | \int_{2 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_c: x_1+\cdots+x_c = n} \frac{dx_1 \cdots dx_{c-1}}{\ln x_1 \cdots \ln x_c}</math>
| |
| − | | |
| − | where the product is over all primes ''p'', and <math>\gamma_{c,p}(n)</math> is the number of solutions to the equation
| |
| − | <math>n = q_1 + \cdots + q_c \mod p</math> in [[modular arithmetic]], subject to the [[Constraint (mathematics)|constraint]]s <math>q_1,\ldots,q_c \neq 0 \mod p</math>. This formula has been rigorously proven to be asymptotically valid for ''c'' ≥ 3 from the work of [[Ivan Matveevich Vinogradov|Vinogradov]], but is still only a conjecture when <math>c=2</math>. In the latter case, the above formula simplifies to 0 when ''n'' is odd, and to
| |
| − | | |
| − | :<math> 2 \Pi_2 \left(\prod_{p|n; p \geq 3} \frac{p-1}{p-2}\right) \int_2^n \frac{dx}{\ln^2 x}
| |
| − | \approx 2 \Pi_2 \left(\prod_{p|n; p \geq 3} \frac{p-1}{p-2}\right) \frac{n}{\ln^2 n}
| |
| − | </math>
| |
| − | | |
| − | when ''n'' is even, where <math>\Pi_2</math> is the [[twin prime constant]]
| |
| − | | |
| − | :<math> \Pi_2 := \prod_{p \geq 3} \left(1 - \frac{1}{(p-1)^2}\right) = 0.6601618158\ldots.</math>
| |
| − | | |
| − | This is sometimes known as the ''extended Goldbach conjecture''. The strong Goldbach conjecture is in fact very similar to the [[twin prime conjecture]], and the two conjectures are believed to be of roughly comparable difficulty. In 2013, Provatidis et al. reported on a "Rule of Thumb" lower bound for the number of representations.<ref>Provatidis C., Markakis E, and Markakis N. Rule of thumb bounds in Goldbach’s Conjecture, ''American Journal of Mathematical Analysis'', 2013 1 (1), pp. 8-13. doi: 10.12691/ajma-1-1-1; DOWNLOAD: http://www.sciepub.com/portal/downloads?doi=10.12691/ajma-1-1-2&filename=ajma-1-1-2.pdf.</ref>
| |
| − | | |
| − | The Goldbach partition functions shown here can be displayed as histograms which informatively illustrate the above equations. See [[Goldbach's comet]].<ref>Fliegel, Henry F.; Robertson, Douglas S.; "Goldbach's Comet: the numbers related to Goldbach's Conjecture”; Journal of Recreational Mathematics, v21(1) 1–7, 1989.</ref>-->
| |
| − | | |
| − | ==厳密な結果==
| |
| − | 強いゴールドバッハ予想は、より非常に難しい。{{仮リンク|イワン・マッツヴェービッチ・ヴィノグラドフ|label=ヴィノグラードフ|en|Ivan Matveevich Vinogradov}}(Vinogradov)の方法を使い、{{仮リンク|ニコライ・チュダコフ|label=チュダコフ|en|Nikolai Chudakov}}(Chudakov)<ref>{{Cite journal| last=Chudakov | first=Nikolai G. | year=1937 | title=О проблеме Гольдбаха |trans_title=On the Goldbach problem | journal=[[Doklady Akademii Nauk SSSR]] | volume=17 | pages=335–338| postscript=.}}</ref> や、{{仮リンク|ヨハン・ヴァン・デル・コルプト|label=ヴァン・デル・コルプト|en|Johannes van der Corput}}(Van der Corput)<ref>{{cite journal |last=Van der Corput |first=J. G. |title={{lang|fr|[http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00016746.pdf Sur l'hypothèse de Goldbach]}} |journal=Proc. Akad. Wet. Amsterdam |volume=41 |issue= |year=1938 |pages=76–80 |doi= }}</ref> や {{仮リンク|テオドル・エスターマン|label=エスターマン|en|Theodor Estermann}}(Estermann)<ref>{{cite journal |last=Estermann |first=T. |title=On G 1 oldbach's problem: proof that almost all even positive integers are sums of two primes |journal=Proc. London Math. Soc. |series=2 |volume=44 |year=1938 |issue= |pages=307–314 |doi=10.1112/plms/s2-44.4.307 }}</ref> は、ほとんど全ての偶数が 2つの素数の和として表すことができることを示した（この意味は、そのように書くことのできる偶数の確率が 1 に近づく傾向にあるという意味である)。1930年、{{仮リンク|レフ・シュニレルマン|en|Lev Schnirelmann}}(Lev Schnirelmann)は<ref>Schnirelmann, L.G. (1930). "[http://mi.mathnet.ru/eng/umn/y1939/i6/p9 On the additive properties of numbers]", first published in "Proceedings of the Don Polytechnic Institute in Novocherkassk" (in Russian), vol '''XIV''' (1930), pp. 3-27, and reprinted in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1939, no. 6, 9–25.</ref><ref>Schnirelmann, L.G. (1933). First published as "[http://link.springer.com/article/10.1007/BF01448914 Über additive Eigenschaften von Zahlen]" in "[[Mathematische Annalen]]" (in German), vol '''107''' (1933), 649-690, and reprinted as "[http://mi.mathnet.ru/eng/umn/y1940/i7/p7 On the additive properties of numbers]" in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1940, no. 7, 7–46.</ref>で、任意の 1 より大きな[[自然数]]は C 個よりも多くない素数の和として書き表すことができることを証明した。ここに C は有効に計算可能な定数である。[[シュニレルマン密度]]を参照。'''シュニレルマンの定数'''(Schnirelmann's constant)は、この性質を持つ最も小さな数であり、シュニレルマン自身は C < 800000 を得た。この結果は多くの人々により拡張されている。現在、最も良い結果として知られているものは、{{仮リンク|オリバー・ラマレ|en|Olivier Ramaré}}(Olivier Ramaré)によるもので、1995年に全ての偶数 n ≥ 4 は実際、多くとも 6つの素数の和であることが知られている。事実、弱いゴルドバッハ予想の解法は、直接、全ての偶数 n ≥ 4 が多くとも 4つの素数の和であることを意味する。<ref>{{Cite journal | title=Checking the Goldbach Conjecture up to 4 10<sup>11</sup>|last=Sinisalo|first=Matti K.| periodical=Mathematics of Computation|volume=61|issue=204|date=Oct., 1993|pages= 931–934 | doi=10.2307/2153264}}</ref>
| |
| − | | |
| − | [[陳景潤]](Chen Jingrun)は、1973年に[[篩法]]を使い、全ての十分に大きな偶数は 2つの素数の和として書き表されるか、もしくは一つの素数と[[半素数]]（2つの素数の積）の和として書き表すことができることを示した。<ref>{{cite journal |first=J. R. |last=Chen |title=On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes |journal=Sci. Sinica |volume=16 |issue= |year=1973 |pages=157–176 }}</ref>例を上げると、100 = 23 + 7·11 {{仮リンク|チェンの定理|en|Chen's theorem}}を参照。
| |
| − | | |
| − | 1975年、{{仮リンク|ヒュー・モンゴメリ|en|Hugh Montgomery (mathematician)}}(Hugh Montgomery)と{{仮リンク|ロバート・チャールズ・ヴォーン|en|Robert Charles Vaughan (mathematician)}}(Robert Charles Vaughan)は、「ほとんど」全ての偶数は 2つの素数の和として表すことができることを示した。詳しくは、正の数 c と C が存在して、全ての十分に大きな数 N に対して、N よりも小さな数は 2つの素数の和であることを、彼らは示した。この例外は、多くとも <math>C N^{1-c}</math> である。特に、2つの素数の和であらわされない偶数の集合は{{仮リンク|自然密度|en|natural density}}(natural density)ゼロである。
| |
| − | | |
| − | {{仮リンク|ユーリ・リニック|en|Yuri Linnik}}(Yuri Linnik)は、1951年、全ての十分に大きな偶数が 2つの素数と 2 の 高々 K 乗との和として表せるような K が存在することを証明した。{{仮リンク|ロジャー・ヒースブラウン|en|Roger Heath-Brown}}(Roger Heath-Brown)と{{仮リンク|ジャン・クリストフ・シュラージ・プクタ|en|Jan-Christoph Schlage-Puchta}}(Jan-Christoph Schlage-Puchta)は、2002年に、K = 13 であることを発見した。<ref>{{cite journal |first=D. R. |last=Heath-Brown |first2=J. C. |last2=Puchta |arxiv=math.NT/0201299 |title=Integers represented as a sum of primes and powers of two |journal=[[Asian Journal of Mathematics]] |volume=6 |year=2002 |issue=3 |pages=535–565 }}</ref> これは、2003年に{{仮リンク|ヤノス・ピンツ|en|János Pintz}}(János Pintz)と{{仮リンク|イムル・ルッツァ|en|Imre Z. Ruzsa}}(Imre Z. Ruzsa)により K=8 と改善された。<ref>{{cite journal |first=J. |last=Pintz |first2=I. Z. |last2=Ruzsa |title=On Linnik's approximation to Goldbach's problem, I |journal=[[Acta Arithmetica]] |volume=109 |issue= 2|year=2003 |pages=169–194 |doi=10.4064/aa109-2-6 }}</ref>
| |
| − | | |
| − | 数学の多くの有名な予想と同じように、ゴールドバッハ予想を解いたと主張する多くの「証明」があるが、数学の学会では受け入れられていない。
| |
| − | | |
| − | [[弱いゴールドバッハ予想]]について考慮すべき仕事として、2013年に[[ハラルド・ヘルフゴット]](Harald Helfgott)により提出されている論文がある<ref>{{cite arXiv |eprint=1305.2897 |title = Major arcs for Goldbach's theorem|last = Helfgott|first = H.A. |class=math.NT |year=2013}}</ref><ref>{{cite arXiv |eprint=1205.5252/ |title = Minor arcs for Goldbach's problem |last = Helfgott|first = H.A.|class=math.NT |year=2012}}</ref><ref>http://www.truthiscool.com/prime-numbers-the-271-year-old-puzzle-resolved</ref><ref>[http://www.newscientist.com/article/dn23535-proof-that-an-infinite-number-of-primes-are-paired.html Proof that an infinite number of primes are paired - physics-math - 14 May 2013]. New Scientist. Retrieved on 2014-05-11.</ref>。この論文は、全ての 7 より大きな奇素数に対して予想を完全に証明したとする論文である（前の結果は <math>e^{3100}\approx 2 \times 10^{1346}</math> よりも大きな数に対しては証明されたとしていたものである）。
| |
| − | <!---==Rigorous results==
| |
| − | The strong Goldbach conjecture is much more difficult. Using [[Ivan Matveevich Vinogradov|Vinogradov]]'s method, [[Nikolai Chudakov|Chudakov]],<ref>{{Cite journal| last=Chudakov | first=Nikolai G. | year=1937 | title=О проблеме Гольдбаха |trans_title=On the Goldbach problem | journal=[[Doklady Akademii Nauk SSSR]] | volume=17 | pages=335–338| postscript=.}}</ref> [[Johannes van der Corput|Van der Corput]],<ref>{{cite journal |last=Van der Corput |first=J. G. |title={{lang|fr|[http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00016746.pdf Sur l'hypothèse de Goldbach]}} |journal=Proc. Akad. Wet. Amsterdam |volume=41 |issue= |year=1938 |pages=76–80 |doi= }}</ref> and [[Theodor Estermann|Estermann]]<ref>{{cite journal |last=Estermann |first=T. |title=On Goldbach's problem: proof that almost all even positive integers are sums of two primes |journal=Proc. London Math. Soc. |series=2 |volume=44 |year=1938 |issue= |pages=307–314 |doi=10.1112/plms/s2-44.4.307 }}</ref> showed that almost all even numbers can be written as the sum of two primes (in the sense that the fraction of even numbers which can be so written tends towards 1). In 1930, [[Lev Schnirelmann]] proved<ref>Schnirelmann, L.G. (1930). "[http://mi.mathnet.ru/eng/umn/y1939/i6/p9 On the additive properties of numbers]", first published in "Proceedings of the Don Polytechnic Institute in Novocherkassk" (in Russian), vol '''XIV''' (1930), pp. 3-27, and reprinted in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1939, no. 6, 9–25.</ref><ref>Schnirelmann, L.G. (1933). First published as "[http://link.springer.com/article/10.1007/BF01448914 Über additive Eigenschaften von Zahlen]" in "[[Mathematische Annalen]]" (in German), vol '''107''' (1933), 649-690, and reprinted as "[http://mi.mathnet.ru/eng/umn/y1940/i7/p7 On the additive properties of numbers]" in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1940, no. 7, 7–46.</ref> that any [[natural number]] greater than 1 can be written as the sum of not more than C [[prime number]]s, where C is an effectively computable constant.See [[Schnirelmann density]]. '''Schnirelmann's constant''' is the lowest number C with this property. Schnirelmann himself obtained C < 800000. This result was subsequently enhanced by many authors; currently, the best known result is due to [[Olivier Ramaré]], who in 1995 showed that every even number ''n'' ≥ 4 is in fact the sum of at most six primes. In fact, resolving the weak Goldbach conjecture will also directly imply that every even number ''n'' ≥ 4 is the sum of at most four primes.<ref>{{Cite journal | title=Checking the Goldbach Conjecture up to 4 10<sup>11</sup>|last=Sinisalo|first=Matti K.| periodical=Mathematics of Computation|volume=61|issue=204|date=Oct., 1993|pages= 931–934 | doi=10.2307/2153264}}</ref>
| |
| − | | |
| − | [[Chen Jingrun]] showed in 1973 using the methods of [[sieve theory]] that every [[sufficiently large]] even number can be written as the sum of either two primes, or a prime and a [[semiprime]] (the product of two primes)<ref>{{cite journal |first=J. R. |last=Chen |title=On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes |journal=Sci. Sinica |volume=16 |issue= |year=1973 |pages=157–176 }}</ref>—e.g., 100 = 23 + 7·11. See [[Chen's theorem]].
| |
| − | | |
| − | In 1975, [[Hugh Montgomery (mathematician)|Hugh Montgomery]] and [[Robert Charles Vaughan (mathematician)|Robert Charles Vaughan]] showed that "most" even numbers were expressible as the sum of two primes. More precisely, they showed that there existed positive constants ''c'' and ''C'' such that for all sufficiently large numbers ''N'', every even number less than ''N'' is the sum of two primes, with at most <math>C N^{1-c}</math> exceptions. In particular, the set of even integers which are not the sum of two primes has [[natural density|density]] zero.
| |
| − | | |
| − | [[Yuri Linnik|Linnik]] proved in 1951 the existence of a constant ''K'' such that every sufficiently large even number is the sum of two primes and at most ''K'' powers of 2. [[Roger Heath-Brown]] and [[Jan-Christoph Schlage-Puchta]] in 2002 found that ''K'' = 13 works.<ref>{{cite journal |first=D. R. |last=Heath-Brown |first2=J. C. |last2=Puchta |arxiv=math.NT/0201299 |title=Integers represented as a sum of primes and powers of two |journal=[[Asian Journal of Mathematics]] |volume=6 |year=2002 |issue=3 |pages=535–565 }}</ref> This was improved to ''K''=8 by [[János Pintz|Pintz]] and [[Imre Z. Ruzsa|Ruzsa]] in 2003.<ref>{{cite journal |first=J. |last=Pintz |first2=I. Z. |last2=Ruzsa |title=On Linnik's approximation to Goldbach's problem, I |journal=[[Acta Arithmetica]] |volume=109 |issue= 2|year=2003 |pages=169–194 |doi=10.4064/aa109-2-6 }}</ref>
| |
| − | | |
| − | As with many famous conjectures in mathematics, there are a number of purported proofs of the Goldbach conjecture, none accepted by the mathematical community.
| |
| − | | |
| − | Considerable work has been done on [[Goldbach's weak conjecture]], culminating in a 2013 claim by [[Harald Helfgott]]<ref>{{cite arXiv |eprint=1305.2897 |title = Major arcs for Goldbach's theorem|last = Helfgott|first = H.A. |class=math.NT |year=2013}}</ref><ref>{{cite arXiv |eprint=1205.5252/ |title = Minor arcs for Goldbach's problem |last = Helfgott|first = H.A.|class=math.NT |year=2012}}</ref><ref>http://www.truthiscool.com/prime-numbers-the-271-year-old-puzzle-resolved</ref><ref>[http://www.newscientist.com/article/dn23535-proof-that-an-infinite-number-of-primes-are-paired.html Proof that an infinite number of primes are paired - physics-math - 14 May 2013]. New Scientist. Retrieved on 2014-05-11.</ref> to fully prove the conjecture for all odd integers greater than 7 (rather than the much larger <math>e^{3100}\approx 2 \times 10^{1346}</math> that was implied by previous results).-->
| |
| − | | |
| − | == 類似した問題 ==
| |
| − | 素数を、例えば平方数のような他の特別な数の集合に置き換えると、同じような問題を考えることができる。
| |
| − | * [[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ]] (Joseph Louis Lagrange) により、[[四平方定理|すべての正の整数は4つの平方数の和であること]]が証明されている。素数の冪の和に関しては、[[ウェアリングの問題]]や、関連する{{仮リンク|ウェアリング・ゴルドバッハの問題|en|Waring–Goldbach problem}}を参照。
| |
| − | * ハーディ (Hardy) とリトルウッド (Littlewood) は彼らの予想 I として「'''全ての大きな奇数 (''n'' > 5) は1つの素数と1つの素数の2倍の和である'''」ことを載せた(''Mathematics Magazine'', 66.1 (1993): 45-47.)。この予想は、{{仮リンク|レモワーヌの予想|en|Lemoine's conjecture}}(Lemoine's conjecture)（あるいは、レヴィ予想）として知られている。
| |
| − | * {{仮リンク|プラクティカル数|en|practical number}}(practical number)<ref>ある正の数 n について、1 以上 n 未満の数のいずれもが n の異なる約数の和で表されるとき、その n をプラクティカル数という。例えば、12 の約数は、1, 2, 3, 4, 6 であり、11 以下の正の整数は、5=3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1, 11=6+3+2 で表されるので、12 はプラクティカル数である。プラクティカル数の列は、
| |
| − | :1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....
| |
| − | となる。</ref>に対するゴールドバッハ予想は、1984年にマルゲンスターン(Margenstern)により提示され<ref>{{cite journal |first=M. |last=Margenstern |title=Results and conjectures about practical numbers |journal=Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences Paris |volume=299 |year=1984 |pages=895–898 }}</ref>、1996年に{{仮リンク|ジュゼッペ・メルフィ|en|Giuseppe Melfi}}(Giuseppe Melfi)により証明された。すなわち、全ての偶数は 2つのプラクティカル数の和である。
| |
| − | <!--=== Similar questions ==
| |
| − | One can pose similar questions when primes are replaced by other special sets of numbers, such as the squares.
| |
| − | * It was proven by [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] that [[Lagrange's four-square theorem|every positive integer is the sum of four squares]]. See [[Waring's problem]] and the related [[Waring–Goldbach problem]] on sums of powers of primes.
| |
| − | * Hardy and Littlewood listed as their Conjecture I: "'''Every large odd number (n > 5) is the sum of a prime and the double of a prime'''." (''Mathematics Magazine'', 66.1 (1993): 45-47.) This conjecture is known as [[Lemoine's conjecture]] (also called ''Levy's conjecture'').
| |
| − | * The Goldbach conjecture for [[practical number]]s, a prime-like sequence of integers, was stated by Margenstern in 1984,<ref>{{cite journal |first=M. |last=Margenstern |title=Results and conjectures about practical numbers |journal=Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences Paris |volume=299 |year=1984 |pages=895–898 }}</ref> and proved by [[Giuseppe Melfi|Melfi]] in 1996: every even number is a sum of two practical numbers.-->
| |
| − | *「4以上の偶数は2個の[[幸運数]]の和として表せる」という問題は、未解決である。
| |
| − | | |
| − | == 脚注 ==
| |
| − | {{Reflist}}
| |
| − | | |
| − | == 関連項目 ==
| |
| − | * [[弱いゴールドバッハ予想]]
| |
| − | * [[エラトステネスの篩]]
| |
| − | * [[ゲーデルの不完全性定理]]
| |
| − | * [[初等整数論]]
| |
| − | * [[数学上の未解決問題]]
| |
| − | * [[双子素数の予想]]
| |
| − | | |
| − | == 参考文献 ==
| |
| − | {{参照方法|date=2012年9月13日 (木) 00:13 (UTC)~|section=1}}
| |
| − | * 本橋洋一，解析的整数論 I -- 素数分布論 --，朝倉書店，東京 2009 （第2刷 2012：加筆含む）ISBN 978-4-254-11821-6
| |
| − | *本橋洋一，[http://doi.org/10.11429/sugaku1947.57.138 '篩法'概観]，日本数学会「数学」57 (2005), 138-163.
| |
| − | *日本数学会市民講演 “素数の翼に乗って” http://mathsoc.jp/publication/tushin/1001/motohashi.pdf
| |
| − | *{{Cite book|和書|author=徐遅|authorlink=徐遅|year=1979|title=ゴルドバッハの予想|publisher=[[外文出版社]]|location=[[北京]]|language=日本語|ref=徐1979}}
| |
| − | * {{Cite book|和書|author=末綱恕一|authorlink=末綱恕一|editor=[[岩波書店]]編|year=1933-1935年|title=岩波講座数学 第9|chapter=ごるどばっはノ問題|volume=第2巻|publisher=岩波書店}}
| |
| − | * {{Cite book|和書|author=アポストロス・ドキアディス|authorlink=アポストロス・ドキアディス|others=[[酒井武志]]訳|date=2001-03-09|title=ペトロス伯父と「ゴールドバッハの予想」|sereis=ハヤカワ・ノヴェルズ|publisher=[[早川書房]]|isbn=4-15-208336-0|url=http://www.hayakawa-online.co.jp/product/books/116415.html}} - 「ゴールドバッハの予想」の証明に一生を捧げた架空の数学者の物語。
| |
| − | * Ramaré, O. "On Snirel'man's Constant." ''Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.'' '''22'''(1995), 645--706.
| |
| − | * L. G. Schnirelmann, Über additive Eigenschaften von Zahlen, ''Math. Ann.'' '''107''' (1932/33), 649–-690.
| |
| − | * {{Citation |first=D. R. |last=Heath-Brown |first2=J. C. |last2=Puchta |arxiv=math.NT/0201299 |title=Integers represented as a sum of primes and powers of two |journal=[[Asian Journal of Mathematics]] |volume=6 |year=2002 |issue=3 |pages=535–565 }}
| |
| − | | |
| − | == 外部リンク ==
| |
| − | *[http://www.i-programmer.info/news/112-theory/4211-goldbach-conjecture-closer-to-solved.html Terence Tao proved that all odd numbers are at most the sum of five primes ]
| |
| − | *[http://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html State of the art ]
| |
| − | * {{springer|title=Goldbach problem|id=p/g044550}}
| |
| − | * [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf Goldbach's original letter to Euler — PDF format (in German and Latin)]
| |
| − | *[http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=GoldbachConjecture ''Goldbach's conjecture''], part of Chris Caldwell's [[Prime Pages]].
| |
| − | *[http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach.html ''Goldbach conjecture verification''], Tomás Oliveira e Silva's distributed computer search.
| |
| | | | |
| | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| | {{デフォルトソート:こおるとはつは}} | | {{デフォルトソート:こおるとはつは}} |
| | [[Category:数論|こおるとはつはのよそう]] | | [[Category:数論|こおるとはつはのよそう]] |