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| − | {{要改訳}} | + | {{テンプレート:20180815sk}} __NOINDEX__ |
| − | [[File:Killing-vector-s2.png|thumb|450 px|球面上に積分曲線（青色）をもつキリングベクトル場（赤色）]]
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| − | '''キリングベクトル場'''(Killing vector field)（時々、'''キリング場'''(Killing fieldとも呼ばれる）は、{{仮リンク|ヴィルヘルム・キリング|en|Wilhelm Killing}}(Wilhelm Killing)の名前に因んだ名称で、[[計量テンソル|計量]]を保存する[[リーマン多様体]]や[[擬リーマン多様体]]上の[[ベクトル場]]であり、[[計量テンソル]]を保存する。キリング場は、[[等長]](isometry)な[[リー群#付随するリー環|リー群に付随するリー代数]]の無限小生成子である。すなわち、キリング場により生成される[[フロー (数学)|フロー (幾何学)]](flow)であり、[[多様体]]の{{仮リンク|アイソメトリー|label=連続な等長|en|Isometry (Riemannian geometry)}}(continuous isometries)写像である。さらに単純化すると、フローは、各々の点をキリングベクトル場の方法へ同じ距離にある対象上の各々の点を動かすことが、距離を曲げないという意味の[[対称性]]を生成する。
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| − | <!--== killing vector field ==
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| − | [[File:Killing-vector-s2.png|thumb|450 px|A Killing vector field (red) with integral curves (blue) on a sphere.]]
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| − | In [[mathematics]], a '''Killing vector field''' (often just '''Killing field'''), named after [[Wilhelm Killing]], is a [[vector field]] on a [[Riemannian manifold]] (or [[pseudo-Riemannian manifold]]) that preserves the [[metric tensor|metric]]. Killing fields are the [[Lie group#The Lie algebra associated to a Lie group|infinitesimal generator]]s of [[isometry|isometries]]; that is, [[flow (geometry)|flow]]s generated by Killing fields are [[Isometry (Riemannian geometry)|continuous isometries]] of the [[manifold]]. More simply, the flow generates a [[symmetry]], in the sense that moving each point on an object the same distance in the direction of the Killing vector field will not distort distances on the object.-->
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| − | == 定義 ==
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| − | 特に、X の計量 g に関して[[リー微分]]が 0 となる、つまり、
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| − | :<math>\mathcal{L}_{X} g = 0</math>
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| − | であるとき、ベクトル場 X をキリングベクトル場という。
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| − | [[レヴィ・チヴィタ接続]]のことばでは、これは、すべてのベクトル X と Y について、
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| − | :<math>g(\nabla_{Y} X, Z) + g(Y, \nabla_{Z} X) = 0 \,</math>
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| − | である。[[局所座標]]では、この考え方はキリング方程式
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| − | :<math>\nabla_{\mu} X_{\nu} + \nabla_{\nu} X_{\mu} = 0</math>
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| − | である。
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| − | この条件は共変形式で表されるので、すべての座標系で保たれることを示すためには、元々の座標系で確立するだけで充分である。
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| − | <!--== Definition ==
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| − | Specifically, a vector field ''X'' is a Killing field if the [[Lie derivative]] with respect to ''X'' of the metric ''g'' vanishes:
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| − | :<math>\mathcal{L}_{X} g = 0 \,.</math>
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| − | In terms of the [[Levi-Civita connection]], this is
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| − | :<math>g(\nabla_{Y} X, Z) + g(Y, \nabla_{Z} X) = 0 \,</math>
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| − | for all vectors ''Y'' and ''Z''. In [[local coordinates]], this amounts to the Killing equation
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| − | :<math>\nabla_{\mu} X_{\nu} + \nabla_{\nu} X_{\mu} = 0 \,.</math>
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| − | This condition is expressed in covariant form. Therefore it is sufficient to establish it in a preferred coordinate system in order to have it hold in all coordinate systems.-->
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| − | == 例 ==
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| − | * 点の周りを時計周りで、各々の点で同じ長さを持つ円上のベクトル場は、キリングベクトル場である。このベクトル場に沿って円の上で点を動かすことは、単純に円を回ることとなるからである。
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| − | * ある基底座標 <math>dx^{a}</math> での計量の係数 <math>g_{\mu \nu}</math> が <math>x^{\kappa}</math> と独立であれば、<math>K^{\mu} = \delta^{\mu}_{\kappa}</math>は自動的にキリングベクトル場となる。ここに、<math>\delta^{\mu}_{\kappa}</math> は[[クロネッカーのデルタ]]である<ref>{{cite book | title=Gravitation | last = Misner, Thorne, Wheeler | year=1973 | publisher = W H Freeman and Company| isbn=0-7167-0344-0}}</ref>。このことを証明するために、
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| − | ::<math> g_{\mu \nu},_0=0 \,</math>
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| − | :を仮定すると、
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| − | ::<math> K^\mu=\delta^{\mu}_{0}</math> であり、<math> K_{\mu}=g_{\mu \nu} K^{\nu}= g_{\mu \nu} \delta^{\nu}_{0}= g_{\mu 0}</math>
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| − | :である。ここで、<math> g_{\rho 0}g^{\rho \sigma} = \delta_{0}^{\sigma}</math> より、キリングの条件
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| − | ::<math> K_{\mu;\nu}+K_{\nu;\mu}=K_{\mu,\nu}+K_{\nu,\mu}-2\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}K_{\rho} = g_{\mu 0,\nu}+g_{\nu 0,\mu}-g^{\rho\sigma}(g_{\sigma\mu,\nu}+g_{\sigma\nu,\mu}-g_{\mu\nu,\sigma})g_{\rho 0}</math>
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| − | :を得る。このキリング条件は
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| − | ::<math> g_{\mu 0,\nu}+g_{\nu 0,\mu} - ( g_{0\mu,\nu}+g_{0\nu,\mu}-g_{\mu\nu,0} ) = 0</math>
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| − | :このことは、<math>g_{\mu\nu,0}= 0 </math> であることから、成り立っていることが分かる。
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| − | * 物理的な意味は、たとえば、計量の係数が時間の函数でない場合、多様体は自動的にタイムライクなキリングベクトルを持つ。
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| − | * ライマン項の中に、対象が時間発展（時間経過したとき）や変換をしないならば、時間の経過は対象を計測を変化させない。このように定式化すると、結果はトートロジーのように聞こえるが、しかし例は非常に考慮の行き届いていることを理解すべきである。キリング場はより複雑でより興味深い例に対しても適用される。
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| − | <!--== Examples ==
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| − | * The vector field on a circle that points clockwise and has the same length at each point is a Killing vector field, since moving each point on the circle along this vector field simply rotates the circle.
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| − | * If the metric coefficients <math>g_{\mu \nu} \,</math> in some coordinate basis <math>dx^{a} \,</math> are independent of <math>x^{\kappa} \,</math>, then <math>K^{\mu} = \delta^{\mu}_{\kappa} \,</math> is automatically a Killing vector, where <math>\delta^{\mu}_{\kappa} \,</math> is the [[Kronecker delta]].<ref>{{cite book | title=Gravitation | last = Misner, Thorne, Wheeler | year=1973 | publisher = W H Freeman and Company| isbn=0-7167-0344-0}}</ref><br /> To prove this, let us assume <math> g_{\mu \nu},_0=0 \,</math> <br /> Then <math> K^\mu=\delta^{\mu}_{0} \,</math> and <math> K_{\mu}=g_{\mu \nu} K^{\nu}= g_{\mu \nu} \delta^{\nu}_{0}= g_{\mu 0} \,</math> <br /> Now let us look at the Killing condition <br /> <math> K_{\mu;\nu}+K_{\nu;\mu}=K_{\mu,\nu}+K_{\nu,\mu}-2\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}K_{\rho} = g_{\mu 0,\nu}+g_{\nu 0,\mu}-g^{\rho\sigma}(g_{\sigma\mu,\nu}+g_{\sigma\nu,\mu}-g_{\mu\nu,\sigma})g_{\rho 0} \,</math> <br /> and from <math> g_{\rho 0}g^{\rho \sigma} = \delta_{0}^{\sigma} \,</math> <br /> The Killing condition becomes <br /> <math> g_{\mu 0,\nu}+g_{\nu 0,\mu} - ( g_{0\mu,\nu}+g_{0\nu,\mu}-g_{\mu\nu,0} ) = 0 \,</math> <br /> that is <math>g_{\mu\nu,0}= 0 </math>, which is true.
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| − | *: The physical meaning is, for example, that, if none of the metric coefficients is a function of time, the manifold must automatically have a time-like Killing vector.
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| − | *: In layman's terms, if an object doesn't transform or "evolve" in time (when time passes), time passing won't change the measures of the object. Formulated like this, the result sounds like a tautology, but one has to understand that the example is very much contrived: Killing fields apply also to much more complex and interesting cases.-->
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| − | == 性質 ==
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| − | キリング場は、ある点でのベクトルとその勾配（つまり、点における場のすべての[[共変微分]]により決定される。
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| − | 2つのキリング場の[[リー代数#定義|リーブラケット]]もまたキリング場であるので、多様体 M 上のキリング場は、M 上のベクトル場の[[リー代数]]を形成する。M が完備であれば、この代数は多様体の{{仮リンク|等長群|en|isometry group}}(isometry group)のリー代数となる。
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| − | [[コンパクト空間|コンパクト]]な多様体に対し、
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| − | * 負の[[リッチ曲率]]は、非自明な（0 でない）キリングベクトルが存在しないことを意味する。
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| − | * 非負のリッチ曲率は、すべてのキリング場が平行である、つまり、すべてのベクトル場にそった共変微分が恒等的に 0 となることを意味する。
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| − | * [[断面曲率]]は正で、M の次元は偶数であれば、キリング場は零点を持つ。
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| − | すべてのキリングベクトル場の発散は 0 となる。
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| − | <math>X</math> がキリングベクトル場で <math>Y</math> が[[ホッジ理論|調和ベクトル場]]であれば、<math>g(X,Y)</math> は[[調和函数]]である。
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| − | <math>X</math> がキリングベクトル場で <math>\omega</math> が[[ホッジ理論|調和 p-形式]]であれば、<math>\mathcal{L}_{X} \omega = 0</math> である。
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| − | <!--== Properties ==
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| − | A Killing field is determined uniquely by a vector at some point and its gradient (i.e. all [[covariant derivative]]s of the field at the point).
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| − | The [[Lie bracket of vector fields|Lie bracket]] of two Killing fields is still a Killing field. The Killing fields on a manifold ''M'' thus form a [[Lie algebra|Lie subalgebra]] of vector fields on ''M''. This is the Lie algebra of the [[isometry group]] of the manifold if ''M'' is complete.
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| − | For [[compact space|compact]] manifolds
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| − | * Negative [[Ricci curvature]] implies there are no nontrivial (nonzero) Killing fields.
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| − | * Nonpositive [[Ricci curvature]] implies that any Killing field is parallel. i.e. covariant derivative along any vector field is identically zero.
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| − | * If the [[sectional curvature]] is positive and the dimension of ''M'' is even, a Killing field must have a zero.
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| − | The divergence of every Killing vector field vanishes.
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| − | If <math>X</math> is a Killing vector field and <math>Y</math> is a [[Hodge theory|harmonic vector field]], then <math>g(X,Y)</math> is a [[harmonic function]].
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| − | If <math>X</math> is a Killing vector field and <math>\omega</math> is a [[Hodge_theory|harmonic p-form]], then <math>\mathcal{L}_{X} \omega = 0 \,.</math>-->
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| − | === 測地線 ===
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| − | 各々のキリングベクトルは、{{仮リンク|ハミルトニアンフローに沿った測地線|label=測地線|en|Geodesics as Hamiltonian flows}}(geodesics)に沿って保存される量に対応する。この保存量はキリングベクトルと測地線の接ベクトルとの間の計量積である。すなわち、同じアフィンパラメータ <math>\lambda</math> の測地線に沿って、方程式 <math>\frac d {d\lambda} ( K_\mu \frac{dx^\mu}{d\lambda} ) = 0</math> が成立する。これは、対称性をもつ[[時空]]の運動を解析的に研究する目的を持っている<ref>{{Cite book|title = An Introduction to General Relativity Spacetime and Geometry|last = Carrol|first = Sean|publisher = Addison Wesley|year = 2004|isbn = |location = |pages = 133-139}}</ref>。
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| − | == 一般化 ==
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| − | * キリングベクトル場は、あるスカラー <math>\lambda</math> に対して <math>\mathcal{L}_{X} g = \lambda g \,</math> で定義さる[[共形場理論|共形キリングベクトル場]]へ一般化される。[[共形写像]]の一径数族の微分は、共形キリング場である。
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| − | * キリングテンソル場は、<math>\nabla T</math> の対称化のトレースのない部分が 0 となるような対称[[テンソル]]場 T である。キリングテンソルを持つ多様体の例としては、{{仮リンク|カー時空|label=回転ブラックホール|en|Kerr spacetime}}(rotating black hole)や[[フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量|FRW宇宙]]がある<ref>{{Cite book|title = An Introduction to General Relativity Spacetime and Geometry|last = Carrol|first = Sean|publisher = Addison Wesley|year = 2004|isbn = |location = |pages = 263,344}}</ref>。
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| − | * キリングベクトル場は、等長な群に代えて多様体上の[[群作用|作用]]するリー群 G をとると、任意の（計量を持たない多様体でもよい）多様体 M 上に定義することができる<ref>{{citation
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| − | |last = Choquet-Bruhat
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| − | |first = Yvonne
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| − | |authorlink = Yvonne Choquet-Bruhat
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| − | |first2 = Cécile |last2=DeWitt-Morette|authorlink2 = Cécile DeWitt-Morette| title = Analysis, Manifolds and Physics| publisher = Elsevier| year= 1977| location = Amsterdam |isbn = 978-0-7204-0494-4}}</ref>。この広い意味でのキリングベクトル場は、群の作用により G 上の右不変ベクトル場のプッシュフォワードである。群作用が有効であれば、キリングベクトル場の空間は G のリー代数 <math>\mathfrak{g}</math> と同型である。
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| − | <!--=== Geodesics ===
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| − | Each Killing vector corresponds to a quantity which is conserved along [[Geodesics as Hamiltonian flows|geodesics]]. This conserved quantity is the metric product between the Killing vector and the geodesic tangent vector. That is, along a geodesic with some affine parameter <math>\lambda
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| − | </math>, the equation <math>\frac d {d\lambda} ( K_\mu \frac{dx^\mu}{d\lambda} ) = 0</math> is satisfied. This aids in analytically studying motions in a [[spacetime]] with symmetries.<ref>{{Cite book|title = An Introduction to General Relativity Spacetime and Geometry|last = Carrol|first = Sean|publisher = Addison Wesley|year = 2004|isbn = |location = |pages = 133-139}}</ref>
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| − | == Generalizations ==
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| − | * Killing vector fields can be generalized to [[Conformal vector field|''conformal'' Killing vector fields]] defined by <math>\mathcal{L}_{X} g = \lambda g \,</math> for some scalar <math>\lambda \,.</math> The derivatives of one parameter families of [[conformal map]]s are conformal Killing fields.
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| − | * Killing ''tensor ''fields are symmetric [[tensor]] fields ''T'' such that the trace-free part of the symmetrization of <math>\nabla T \,</math> vanishes. Examples of manifolds with Killing tensors include the [[Kerr spacetime|rotating black hole]] and the [[FRW cosmology]].<ref>{{Cite book|title = An Introduction to General Relativity Spacetime and Geometry|last = Carrol|first = Sean|publisher = Addison Wesley|year = 2004|isbn = |location = |pages = 263,344}}</ref>
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| − | * Killing vector fields can also be defined on any (possibly nonmetric) manifold M if we take any Lie group G [[group action|acting]] on it instead of the group of isometries.<ref>{{citation
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| − | |last = Choquet-Bruhat
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| − | |first = Yvonne
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| − | |authorlink = Yvonne Choquet-Bruhat
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| − | |first2 = Cécile |last2=DeWitt-Morette|authorlink2 = Cécile DeWitt-Morette| title = Analysis, Manifolds and Physics| publisher = Elsevier| year= 1977| location = Amsterdam |isbn = 978-0-7204-0494-4}}</ref> In this broader sense, a Killing vector field is the pushforward of a right invariant vector field on G by the group action. If the group action is effective, then the space of the Killing vector fields is isomorphic to the Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math> of G.-->
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| − | ==関連項目==
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| − | * {{仮リンク|アフィンベクトル場|en|Affine vector field}}(Affine vector field)
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| − | * [[Curvature collineation]]
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| − | * [[Homothetic vector field]]
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| − | * [[キリング形式]]
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| − | * {{仮リンク|キリングの地平線|en|Killing horizon}}(Killing horizon)
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| − | * {{仮リンク|キリングスピノル|en|Killing spinor}}(Killing spinor)
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| − | * {{仮リンク|キリングテンソル|en|Killing tensor}}(Killing tensor)
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| − | * [[Matter collineation]]
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| − | * {{仮リンク|時空の対称性|en|Spacetime symmetries}}(Spacetime symmetries)
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| − | ==脚注==
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| − | {{Reflist}}
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| − | ==参考文献==
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| − | * {{cite book | author=Jost, Jurgen| title= Riemannian Geometry and Geometric Analysis| location=Berlin | publisher=Springer-Verlag | year=2002 | isbn=3-540-42627-2}}.
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| − | * {{cite book | author=Adler, Ronald; Bazin, Maurice & Schiffer, Menahem| title= Introduction to General Relativity (Second Edition)| location=New York | publisher=McGraw-Hill | year=1975 | isbn=0-07-000423-4}}. ''See chapters 3,9''
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| − | {{DEFAULTSORT:きりんくへくとるは}}
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| − | [[Category:リーマン幾何学]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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