高木の存在定理

類体論の高木の存在定理(Takagi existence theorem)とは、代数体 K に対してその有限次アーベル拡大と K の一般化されたイデアル類群の間に 1 対 1 の対応が存在するという定理である。

この定理を存在定理と呼ぶ理由は、証明の最も困難な部分が K のアーベル拡大体の存在を示す部分にあるからである。

定式化

モジュラスとは（または射因子(ray divisor)とも言う）、正の整数の指数をもつ K の付値（また、素点(place)、素因子(prime)とも言う）の形式的有限積のことを言う。モジュラスの中に現れるアルキメデス的な付値（無限素点ともいう）は、完備化が複素数ではなく実数になるもののみを含む。そのような無限素点は K の順序と対応し、モジュラスにおいては必ず指数 1 である。

モジュラス m は、非アルキメデス的（有限）付値部分 m_f とアルキメデス的（無限）付値部分 m_∞ の積である。有限部分 m_f は K の整数環 O_K のゼロでないイデアルと対応し、無限部分 m_∞ は K の実埋め込みいくつかの集合に対応する。モジュラス m にたいして次の二つの群 I_m および P_m を次のように定める。I_m は m と互いに素な全ての分数イデアルの群である（ m_f に現れる全ての素イデアルを含ふくまないという条件で、ここには無限部分に対する条件は課さない）。P_m は I_mのうちで主分数イデアル (u/v) であって次の条件をみたすもののなす部分群である。ここで u と v 、 m_∞ の各々の整環の中で m_f と互いに素であり、u ≡ v mod m_f であり、m_∞に属する全ての順序に対し u/v > 0 であるような O_K のゼロでない元である。

（P_m の定義としてはある生成元があたえられた条件をみたせばよい、ということに注意する。例えば、K を有理数体として m=4 とする。イデアル (3) は 3/1 を生成元としてとるとこれは 3 と 1 は mod 4 で等しくないので条件はみたさないが、-3/1 をその生成元としてとれば -3 と 1 mod 4 で等しく、これは条件をみたす。したがってイデアル (3) は P₄ に属する。一方で -3/1<0 であるため、(3) は P_4∞ には属さない。）

I_m と P_m の間にある任意の群 H に対し、商 I_m/H を一般化されたイデアル類群と呼ぶ。

存在定理によれば K のアーベル拡大と上で定義した一般化されたイデアル類群が一対一に対応し、その拡大のガロア群となる。一般化されたイデアル類群が有限群であるという事実は、通常のイデアル類群が有限であるという証明と同様に、あらかじめそれらが有限次拡大のガロア群である事を示すことによって証明できる。

正確な対応

厳密には、上で述べた K の有限アーベル拡大と一般化されたイデアル類群との間の対応は 1 対 1 の対応ではない。実際、異なるモジュライから定義された一般化されたイデアル類群が、同じアーベル拡大を作ることがありうる。たとえば K を有理数体としよう。アーベル拡大体 L がある円分体にふくまれるとき、その円分体をふくむ無限に多くの円分体にも同時にふくまれる。その円分体の各々に対して、適切に一般化されたイデアル類群をとることにより、もとの L に対応するガロア群の部分群を得ることができる。このことをふまえて適切に一般化されたイデアル類群たちの間に同値関係を定める必要がある。

類体論のイデール的な定式化の中で、アーベル拡大と適切なイデール群の間の 1 対 1 の対応が得られる。そこではイデール論的なことばで一般化された同値イデアル類群とイデールの同一の群が対応する。

類体論の初期の仕事

存在定理の特別な場合は、m = 1 で H = P₁ の場合である。この場合には、一般化されたイデアル類群は K のイデアル類群であり、L が K の全ての素因子で不分岐であるような K のイデアル類群に同型なガロア群を持つアーベル拡大 L/K が一意に存在することを存在定理は言っている。この体の拡大をヒルベルト類体(Hilbert class field)という。ヒルベルト類体の存在はダフィット・ヒルベルト(David Hilbert)により予想され、その特別な場合の存在は高木の一般的な存在定理に先立ち、1907年フィリップ・フルトヴェングラー(Phillip Furtwängler)により証明されていた。

ヒルベルト類体のさらに特別な性質は、もともとの代数体 K のイデアルはヒルベルト類体へ引き戻すと主イデアルとなるというものである。この主イデアル化が起きることの証明は、エミール・アルティン(Emil Artin)とフルトヴェングラーが行った。

歴史

存在定理は高木貞治(Teiji Takagi)により、第一次世界大戦の幾年かの間に日本で証明した。1920年の国際数学者会議で提案し、1920年代の類体論の古典的理論の発展に主導的な役割を果たした。ヒルベルトの要請で、論文は1925年にMathematische Annalenで出版された。

参照項目

• 類構成(Class formation)

参考文献

• Helmut Hasse, History of Class Field Theory, pp. 266–279 in Algebraic Number Theory, eds. J. W. S. Cassels and A. Fröhlich, Academic Press 1967. (See also the rich bibliography attached to Hasse's article.)