伝達関数法
伝達関数法（でんたつかんすうほう）とは、複素関数論（ラプラス変換など）を用いた制御系の解析法である。
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伝達関数
伝達関数 (transfer function) とはシステムへの入力を出力に変換する関数のことをいう。伝達関数は、すべての初期値を 0 とおいたときの、制御系の出力と入力のラプラス変換（または Z 変換）の比で表される。すなわち、連続システムのとき、出力信号 y(t) のラプラス変換を Y(s)、入力信号 x(t) のラプラス変換を X(s) とすれば、伝達関数 G(s) は
[math]G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{\mathcal{L}\left[y(t)\right]}{\mathcal{L}\left[x(t)\right]}[/math]
と表される。
離散システムに対して、伝達関数は Z 変換によって、
[math]H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\mathcal{Z}\left[y(n)\right]}{\mathcal{Z}\left[x(n)\right]}[/math]
と表される。
この伝達関数法では、時間領域の関数を、ラプラス変換（または Z 変換）によって複素平面に写像を取り、さらに周波数領域に変換することにより、系の特性や安定性を解析するのに用いる。ただし、対象となる系が 1 入力 1 出力（線形関数）に限られているため、複雑な系（多入力多出力、非線形）の解析には状態空間法を用いる。しかしながら、この伝達関数法は、今日の制御理論においても基礎となる重要な理論である。
周波数伝達関数
s を jω とすると、周波数伝達関数 (frequency transfer function) は G(jω) と表される。 周波数伝達関数は複素数であるため、次のように表される。
[math] G(j\omega)= {\rm Re}\{G(j\omega)\} + j~{\rm Im}\{G(j\omega)\} = |G(j\omega)| e^{j\angle G(j\omega)} [/math]
この式の特性を見るためにナイキスト線図、ボード線図、ニコルス線図がある。
周波数伝達関数の絶対値 |G(jω)| を利得といい、偏角 [math]\angle G(j\omega)[/math] を位相（位相角）という。
各種要素の伝達関数
- 積分要素
- [math]G(s)=\frac{k}{s}[/math]
- 1次遅れ要素
- [math]G(s)=\frac{K}{Ts+1}[/math]
- 微分要素
- [math]G(s)=Ts[/math]
- むだ時間要素
- [math]G(s)=e^{-s\tau}[/math] (通信遅延等)(解析が困難)
- 2次遅れ要素
- [math]G(s)=\frac{K}{(T_1 s+1)(T_2 s+1)}[/math]
- [math]G(s)=\frac{K}{s^2+2\zeta \omega_n s+\omega_n{}^2}\quad (\zeta\lt 1)[/math]
- [math]G(s)=\frac{K}{s(Ts+1)}[/math]