正単体

2次元正単体（正三角形）

3次元正単体（正四面体）

4次元正単体（正五胞体）の投影図

正単体（せいたんたい、regular simplex）は、2次元の正三角形、3次元の正四面体、4次元の正五胞体を各次元に一般化した正多胞体。なお、0次元正単体は点、1次元正軸体は線分である。

また言い換えると、単体である正多胞体、つまり、辺の長さが全て等しい単体である。

[math]\alpha[/math]体（アルファたい）ともいい、n (n ≥ 0) 次元正単体を [math]\alpha_n[/math] と書く。

超立方体（正測体）、正軸体と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。

作図

n 次元正単体は、n + 1 次元空間内で作図するのが簡単である。[math](1, 0, 0, \cdots , 0)[/math] の巡回

[math](1, 0, 0, \cdots , 0), (0, 1, 0, \cdots , 0), \cdots, (0, 0, \cdots , 0, 1)[/math]

を頂点として、互いを辺で結べばいい。

n 次元空間内で作図するには、

などがある。

特にことわらない限り、辺の長さが a の n 次元正単体について述べる。

超体積は、

[math]\frac{ \sqrt{n+1} }{ n! \sqrt{2^n} } a^n[/math]

超表面積は

[math]\frac{ (n+1) \sqrt{n} }{ (n-1)! \sqrt{ 2^{n-1} } } a^{n-1}[/math]

である。

ファセット (m - 1 次元面) は n - 1 次元超単体である。したがって一般に、m 次元面は m 次元正単体である。たとえば、面は正三角形、胞は正四面体である。

m 次元面の個数は

[math]{}_{n+1}\operatorname{C}_{m+1}[/math]

である。特に、頂点とファセットはそれぞれ [math]n + 1[/math] 個である。

自らと双対である。

ペトリー多胞体は n - 1 次元正軸体である。たとえば、正四面体のペトリー多角形は正方形である。