再帰的定義

再帰的定義（Recursive Definition）は、再帰的な定義、すなわち、あるものを定義するにあたってそれ自身を定義に含むものを言う。無限後退を避けるため、定義に含まれる「それ自身」はよく定義されていなければならない。同義語として帰納的定義（Inductive Definition）がある。

概要

循環定義との違いは、再帰的定義にはその定義を使わずに定義される基本となるケースが存在することである。その他のケースの定義は、基本のケースにより近い定義によって定義されなければならない。

例として素数の定義を示す:

• 2は最小の素数である。
• 任意の正の整数で、自身より小さい素数で割り切れない数は素数である。

整数 2 がこの場合の基本ケースである。それより大きい整数 X が素数かどうかを判定するには、X と 2 の間の全ての整数について素数かどうかを知っている必要がある。しかし、そのような整数は X よりも基本ケースの 2 に近い。

対照的に循環定義には基本ケースがなく、単に自身で自身を定義しているにすぎない。これが悪循環を生む。従って「再帰的定義: "再帰的定義"を参照」という記述は循環定義であって再帰的定義ではない。

再帰的定義は論理学やコンピュータプログラミングでよく見受けられる。例えば整論理式(WFF)は次のように定義される:

1. 命題を意味する記号 - 例えば、p は「フレッドは法律家である」を意味する。
2. 記号の否定もWFFである - 例えば、Np は「フレッドは法律家である、というのは真ではない」を意味する。
3. 4種類の論理演算（C, A, K, E）のいずれかに二つのWFFが付属したものはWFFである。記号 K は「両方が真である」ことを意味するとすると、Kpq は「フレッドが法律家であり、かつメリーは音楽好きである」という意味である。

このような再帰的定義を使って、ある記号列が整論理式であるかどうかを判定することができる。

• Kpq は、WFF である p と q が K に付属したものであるため、WFF である。
• NKpq は、WFF である Kpq が N に付属したものであるため、WFF である。
• KNpNq は、K に Np と Nq が付属しており、Np は WFF であり、などなど。