qポッホハマー記号

数学において、qポッホハマー記号(q-Pochhammer symbol)はq-類似の数式に頻出する乗積を略記する記号である。

[math]\begin{align} &(a;q)_\infty=\prod_{k=0}^{\infty}(1-aq^k)\\ &(a;q)_n=\frac{(a;q)_\infty}{(aq^n;q)_\infty}\\ \end{align}[/math]

[math]|q|\lt 1[/math]の仮定が普通であり、実用上、[math]n[/math]は整数であることが多い。[math]n[/math]が整数である場合は

[math](a;q)_n=\begin{cases} \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^k)&n\gt 0\\ 1&n=0\\ \displaystyle\prod_{k=n}^{-1}\frac{1}{(1-aq^k)}&n\lt 0\\ \end{cases}[/math]

となる。[math]m,n[/math]が整数であり、[math]a=q^{-m}[/math]であるとき、[math]0{\le}m\lt n[/math]であれば[math](q^{-m};q)_n=0[/math]であり、[math]n{\le}m\lt 0[/math]であれば[math](q^{-m};q)_n[/math]である。

更なる略記

基底(base)が文字[math]q[/math]である場合は省略することがある。

[math]\begin{align} &(a)_n=(a;q)_n\\ &(q)_n=(q;q)_n\\ \end{align}[/math]

複数のqポッホハマー記号が並ぶときは合成することがある。

[math]\begin{align} &(a,b,c)_n=(a,b,c;q)_n=(a;q)_n(b;q)_n(c;q)_n\\ \end{align}[/math]

変換式

以下の変換式が成立する。

[math]\begin{align}(aq^{-n+1};q)_n &=\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^{-n+1+k})\\ &=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{q^{n-1-k}}{a}\right)\\ &=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{q^{k}}{a}\right)\qquad(n-1-k{\mapsto}n)\\ &=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\left(\dfrac{1}{a};q\right)_n\\ \end{align}[/math]

qブラケット

qブラケット(q-bracket)は整数、実数、複素数などのq-類似を表す記号である。

[math][n]=[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q}=\sum_{k=0}^{n-1}q^k[/math]

q階乗

q階乗(q-factorial)は階乗のq-類似である。（分母は普通の冪乗であることを為念）

[math][n]_q!=\prod_{k=1}^{n}[k]_q=\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}[/math]

q二項係数

q二項係数(q-binomial coefficient)は二項係数のq-類似である。

[math]\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q=\frac{[n]_q!}{[n-k]_q![k]_q!}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_{n-k}(q;q)_k}[/math]