GCD整域
数学において、GCD整域 (GCD domain) は整域 R であって任意の2つの0でない元が最大公約元 (greatest common divisor; GCD) をもつという性質をもつものである。同値なことだが、R の任意の2つの0でない元は最小公倍元 (least common multiple; LCM) をもつ[1]。
GCD整域は一意分解整域 (UFD) を次のような意味で非ネーターの場合に一般化する。整域が UFD であることと、主イデアルについての昇鎖条件を満たすGCD整域であることは同値である。（とくに、ネーター的GCD整域はUFDである。）
性質
GCD整域のすべての既約元は素元である（しかしながらGCD整域が体でない場合でさえ既約元が存在するとは限らない）。GCD整域は整閉で、すべての0でない元はprimalである[2]。言い換えると、すべてのGCD整域はシュライアー整域である。
GCD整域 R の元 x, y の各組に対して、x と y の GCD d と、x と y の LCM m は、dm = xy であるように選ぶことができる。あるいは別の言い方をすれば、x と y が0でない元で d が x と y の任意の GCD であれば、xy/d は x と y の LCM であり、GCD と LCM を入れ替えて同様のことが成り立つ。次のことがわかる。GCD と LCM の演算は商 R/～ を分配束にする、ただし "～" は同伴元であることによる同値関係を表す。
R がGCD整域であれば、多項式環 R [X1, ..., Xn] もまたGCD整域であり、より一般に、群環 R [G] は任意の捩れのない可換群 G に対してGCD整域である[3]。
GCD整域上の一変数多項式に対して、その内容 (content) をすべてのその係数の GCD として定義できる。すると多項式の積の内容は内容の積である。これはガウスの補題であり、これはGCD整域に対しても有効である。
例
- 一意分解整域は GCD 整域である。GCD 整域の中でも、 一意分解整域はちょうど原子整域 (atomic domain) （つまり任意の0でも単元でもないような元に対して既約元の積への少なくとも1つの分解が存在する）でもあるような整域である。
- ベズー整域（すなわちすべての有限生成イデアルが主イデアルであるような整域）は GCD 整域である。主イデアル整域（これはすべてのイデアルが主イデアル）とは違って、ベズー整域は UFD であるとは限らない。例えば整関数全体のなす環は non-atomic ベズー整域であり、他の例もたくさんある。整域がプリューファー GCD 整域であることとベズー整域であることは同値である[4]。
- R が non-atomic GCD 整域であれば、R [X] は一意分解整域でもなく（non-atomic なので）ベズー整域でもない（X と R の非可逆非零元 a は 1 を含まないイデアルを生成するが、それにも関わらず 1 は X と a の GCD であるので）ような GCD 整域の例である。より一般に任意の環 R [X1, ..., Xn] はこれらの性質をもつ。
参考文献
- ↑ Scott T. Chapman, Sarah Glaz (ed.) (2000). Non-Noetherian Commutative Ring Theory, Mathematics and Its Applications. Springer. ISBN 0-7923-6492-9.
- ↑ proof
- ↑ Robert W. Gilmer, Commutative semigroup rings, University of Chicago Press, 1984, p. 172.
- ↑ Ali, Majid M.; Smith, David J. (2003), “Generalized GCD rings. II”, Beiträge zur Algebra und Geometrie 44 (1): 75–98, MR 1990985. P. 84: "It is easy to see that an integral domain is a Prüfer GCD-domain if and only if it is a Bezout domain, and that a Prüfer domain need not be a GCD-domain.".