超幾何分布
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確率質量関数 Hypergeometric PDF plot | |
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累積分布関数 Hypergeometric CDF plot | |
| 母数 | [math]\begin{align}N&\in \left\{0,1,2,\dots\right\} \\ K&\in \left\{0,1,2,\dots,N\right\} \\ n&\in \left\{0,1,2,\dots,N\right\}\end{align}\,[/math] |
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| 台 | [math]k\, \in\, \left\{\max{(0,\, n+K-N)},\, \dots,\, \min{(n,\, K )}\right\}\,[/math] |
| 確率質量関数 | [math]{{{K \choose k} {{N-K} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}}[/math] |
| 累積分布関数 | [math]1-{{{n \choose {k+1}}{{N-n} \choose {K-k-1}}}\over {N \choose K}} \,_3F_2\!\!\left[\begin{array}{c}1,\ k+1-K,\ k+1-n \\ k+2,\ N+k+2-K-n\end{array};1\right],[/math] [math]\,_pF_q[/math] は一般超幾何関数 |
| 期待値 | [math]n {K\over N}[/math] |
| 最頻値 | [math]\left \lfloor \frac{(n+1)(K+1)}{N+2} \right \rfloor[/math] |
| 分散 | [math]n{K\over N}{(N-K)\over N}{N-n\over N-1}[/math] |
| 歪度 | [math]\frac{(N-2K)(N-1)^\frac{1}{2}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^\frac{1}{2}(N-2)}[/math] |
| 尖度 |
[math] \left.\frac{1}{n K(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}\cdot\right.[/math] [math]\Big[(N-1)N^{2}\Big(N(N+1)-6K(N-K)-6n(N-n)\Big)+[/math] [math]6 n K (N-K)(N-n)(5N-6)\Big][/math] |
| モーメント母関数 | [math]\frac{{N-K \choose n} \scriptstyle{\,_2F_1(-n, -K; N - K - n + 1; e^{t}) } } {{N \choose n}} \,\![/math] |
| 特性関数 | [math]\frac{{N-K \choose n} \scriptstyle{\,_2F_1(-n, -K; N - K - n + 1; e^{it}) }} {{N \choose n}} [/math] |
超幾何分布（ちょうきかぶんぷ、英: hypergeometric distribution）
離散的 (型) 確率分布の一つ。 N 個の個体があって，そのうち N 1 個が事象 A ，N－N 1 個が A でない (余事象) とき，大きさ n の任意標本を非復元抽出し，その n 1 個が A である確率は，
となる。これを超幾何分布という。復元抽出の場合は二項分布である。 (確率分布 )
脚注
参考文献
- 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
- B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).
- M. Galassi et al. (富永大介訳), GNU Scientific Library リファレンスマニュアル ver. 1.8, p. 199 (2006).
関連項目